目录
- 约数、素数、合数（第一章）
- 素因数分解（第一章、第二章）
- 盈数、亏数、完满数（第二章）
- 亲和数
- 斐波那契数列（第三章、第五章）
- 费马小定理、伪素数、卡迈克尔数（第六章）
- 素数的生成算式（第六章）
- 卡布列克数（第七章）
- 三角数（第七章）
- 走马灯数（第八章）
- 梅森数、梅森素数（第八章、第九章）
- 毕达哥拉斯素数（第九章）
- 卢卡斯数列（第十章）
- 角谷猜想（Collatz猜想）（第十二章）
约数、素数、合数（第一章）
若正整数 \(b\) 可以整除正整数 \(a\)，即 \(a\) 除以 \(b\) 的余数为 \(0\)，则称 \(b\) 为 \(a\) 的约数。例如，\(3\) 能整除 \(6\)，所以 \(3\) 就是 \(6\) 的约数。因为所有的数都可以被 \(1\) 和它本身整除，所以任意数都包括 \(1\)
除了 \(1\) 和它本身外不再有其它约数，但大于 \(1\) 的自然数叫做素数。按照从小到大的顺序有 \(2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots\)。
不是 \(1\)
素因数分解（第一章、第二章）
把一个合数用素数相乘的形式来表示的方法，就叫做素因数分解。例如 \(78620\) 可以表示为 \(2 \times 2 \times 5 \times 7 \times 13 \times 43\)，这就是对 \(78260\)
”短除法”是一种分解素因数的方法，即从最小的素数 \(2\)
除短除法外，分解素因数还有很多其他的方法，但目前仍未找到快速分解大数的素因子的方法。所以这类复杂的大数的素因数分解常用语信息加密等。
盈数、亏数、完满数（第二章）
若一个数除去本身以外的所有月数之和大于其本身，那么该数称为盈数。\(12\) ”除去本身以外的约数” 是 \(1, 2, 3, 4, 6\)，它们的和为 \(16\)，大于 \(12\)，所以 \(12\)
若一个数除去本身以外的所有月数之和小于其本身，那么该数称为亏数。\(15\) ”除去本身以外的约数” 有 \(1, 3, 5\)，它们的和为 \(9\)，小于 \(15\)，故 \(15\)
若一个数除去本身以外的所有月数之和恰好等于其本身，那么该数称为完满数。最小的完满数是 \(6\)（\(6\) 除去本身以外的约数有 \(1, 2, 3\)，这三个约数之和恰好等于 \(6\)）。
亲和数
如果两个正整数，一方 ”除去本身以外的全部月数之和” 正好等于另一方，且反之也成立的话，我们把这两个正整数称为一对亲和数。最小的一对亲和数是 \(220\) 和 \(284\)。\(220\) 除去本身以外的所有约数之和为 \(1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284\)，\(284\) 除去本身以外的所有约数之和为 \(1+2+4+71+142=220\)。
斐波那契数列（第三章、第五章）
斐波那契数列的前两项是 \(1, 1\)，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
\(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots\)
如上所述，左边第三项 \(2\) 是左边第一项 \(1\) 和第二项 \(1\) 之和；第四项 \(3\) 是第二项 \(1\) 和第三项 \(2\)
斐波那契数列十分有意思。例如，花朵的花瓣数等自然界中常见的数，也符合斐波那契数列的规律。而且，任何正整数都可以表示为若干个不连续的斐波那契数之和，且表示方法是唯一的。这被称作齐肯多夫定理。
费马小定理、伪素数、卡迈克尔数（第六章）
假设正整数 \(a\) 与正整数 \(n\) 的公约数只有 \(1\)。
费马小定理如下所示。
若 \(n\) 为素数，\(a^{n-1} \equiv 1 (\text{ mod }n)\)
”\(a^{n-1} \equiv 1 (\text{ mod }n)\)” 表示 ”\(a^{n-1}\) 与 \(1\) 除以 \(n\) 的余数相同”，由此得出 ”\(a^{n-1}\) 除以 \(n\) 的余数为 \(1\)”。
费马小定理是用于判定是否为素数的定理之一。若想知道 \(n\) 是否为素数，可以选择 \(a\)，计算出 \(a^{n-1}\)，然后用得出的结果除以 \(n\)，看余数是否为 \(1\)。如果 \(n\) 是素数，按照上述定理，余数必定为 \(1\)。
需要注意的是，这个过程中可能出现 \(n\) 不是素数，但对 \(n\) 取某一个或某几个 \(a\) 时，邓毅 \(a^{n-1} \equiv 1(\text{ mod } n)\) 都成立的情况。本作品中举出了 \(341\) 这个例子。假设 \(a\) 为 \(2\)，用 \(2^{341-1}\) 即 \(2^{340}\) 除以 \(341\)，余数为 \(1\)。故按照该定理 \(n = 341, a = 2\) 时，\(a^{n-1} \equiv 1 (\text{ mod } n)\) 成立。但是 \(341\) 是一个合数，可以分解为 \(11\) 和 \(31\)，并非数数。我们把这样的事 \(n\)
要证明伪素数不是素数，可以通过随机选取多个 \(a\) 的方式，即取不同的 \(a\)，按照上述方式对伪素数进行验证，找到余数不是 \(1\) 的情况。例如，对潜水伪素数 \(341\)，取 \(3\) 作为 \(a\)，然后用 \(3^{341-1}\) 即 \(3^{340}\) 除以 \(341\)，计算出与舒适 \(56\)，不是 \(1\)。由此可以确定 \(341\)
不过有些合数，无论用什么 \(a\) 去测试，\(a^{n-1} \equiv 1 (\text{ mod } n)\) 都成立（这意味着费马小定理的逆定理不成立），我们把这样的书叫做卡迈克尔数。我们无法使用费马小定理判断卡迈克尔数是否为素数。本作品中的 \(464052305161\)
素数的生成算式（第六章）
虽然现在我们仍未找到可以生成所有素数或者只生成素数的算式（函数），但是我们已经找到了能够生成绩哦度哦素数的算式，如 \(f(x) = x^2 - x + 41\)。当 \(x\) 的取值范围在 \(1\) 到 \(40\) 之间时，该算式的结果均为素数。
但 \(f(41) = 41^2 - 41 + 41 = 41^2\) 的结果很明显不是素数。如果 \(x\) 大于 \(41\)，那么 \(f(x)\)
卡布列克数（第七章）
若某个正整数平方后，其结果可以从中间数位分成两个正整数，且这两个正整数之和恰好等于原始数，那么我们把这样的特殊数叫做卡布列克数。（平方后得到的数的位数为偶数，则从中间分成前后两个位数相同的数；平方后得到的数的位数为奇数，则前一个数的位数要比后一个数少一位。）
例：
- \(45^2 = 2025\) \(\rightarrow\) 把 \(2025\) 分成 \(20\) 和 \(25\) \(\rightarrow\) \(20 + 25 = 45\)
- \(297^2 = 88209\) \(\rightarrow\) 把 \(88209\) 分成 \(88\) 和 \(209\) \(\rightarrow\) \(88 + 209 = 297\)
三角数（第七章）
\(1, 3, 6, 10\) 等数量的点可以排列成三角形，这些数叫做三角数。所有正整数都可以表示为 \(3\)
走马灯数（第八章）
整数 \(142857\) 的 \(2\) 倍到 \(6\)
- \(142857 \times 2 = 285714\)
- \(142857 \times 3 = 428571\)
- \(142857 \times 4 = 571428\)
- \(142857 \times 5 = 714285\)
- \(142857 \times 6 = 857142\)
不过，\(142857 \times 7 = 999999\)。
梅森数、梅森素数（第八章、第九章）
梅森数指可以表示为 \(2^n-1\) 的数，即比 \(2\) 的乘方小 \(1\) 的数。梅森数中的素数又称为梅森素数，如 \(3, 7, 31, 127, 8191\)
当 \(p\) 为素数，且 \(2^p-1\) 为梅森素数时，\(2^{p-1}(2^p-1)\)
毕达哥拉斯素数（第九章）
在素数中，存在无数可以用 \(4n+1\)，即某数 \(n\) 的 \(4\) 倍加 \(1\) 表示的素数，我们将其称为毕达哥拉斯素数。毕达哥拉斯素数可以表示为 \(2\) 个平方数之和，即 \(a^2 + b^2\)（反之，若 \(a^2+b^2\) 是 \(2\)
例如，\(5\) 是可以表示为 \(4 \times 1 + 1\) 的毕达哥拉斯素数，\(5\) 也等于 \(1^2+2^2\)。下面再举几个其他的例子。
- \(13\)：\(4 \times 3 + 1\)，\(2^2 + 3^2\)
- \(17\)：\(4 \times 4 + 1\)，\(1^2 + 4^2\)
- \(29\)：\(4 \times 7 + 1\)，\(2^2 + 5^2\)
卢卡斯数列（第十章）
卢卡斯数列和斐波那契数列一样，后项均为前两项之和。但是斐波那契数列的前两项都为 \(1\)，而卢卡斯数列的第二项是 \(3\)（另一种定义方式是，第一项是 \(2\)，第二项是 \(1\)，后面为 \(3,4,7, 11, \ldots\)）
\(1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, \ldots\)
角谷猜想（Collatz猜想）（第十二章）
对于任意数进行如下操作：
- 偶数除以 \(2\)；
- 奇数乘以 \(3\) 再加 \(1\)。
反复进行如上操作后，其最终结果为 \(1\)，这就是角谷猜想（Collatz猜想）。该猜想是否对所有数都成立仍流贷证明，目前已证明，即使是很大的数，该假说也成立。
