@[TOC]2.21总结
#总结
##第一章中首先介绍了新的模型拟合路径：建模——残差——伴随——跳跃，这条路径用于解决平稳性问题比传统的模型拟合路径更加简便。然后介绍了预测误差滤波（反褶积），文中将滤波器输出定义为残差，并设定残差能量最小的目标。为了防止滤波器a全为0，故约束第一个滤波器系数为统一的1.0，通过随时间推移，改变滤波器
来预测残差。过滤器的名称是预测错误过滤器（PEF），其输出应该趋于白色（具体的推理解释在附录中），显示傅里叶空间的平坦性，文章在旧的PEF基础上，将伪代码中的过滤器进行更新:
滤波器输出为,更新后的输出为：
这样使得非平稳问题的回归可以仅通过把残差放入伴随来解决。
在PEF过程中运用到的epsilon这样的应用程序需要选择合适的数值才能进行预测，这里通常确保过滤器a是没有物理单位的，然后通过过滤器a来预测y的未来，由此计算出的缺失的数据适应率不需要进行归一化处理。而时间步长对于滤波器的分数变化，在被称为“漏积分”的过程中，通过任何在t时刻的过滤器的远程平均值和其增广，经过步长后，初始时间的影响就得到减小，并且根据指数函数的特性，衰减信号的面积在
距离上均匀分布。
## 第二章介绍在二维的空间中，PDF编码与一维代码不同，二维空间在时间上使用负下标。与一维一样，PEF输出与其输入对齐，因为。为了避免滤波器试图使用边缘输入，在x轴的开始和时间轴的两端都不计算输出（前两个循环）。在代码中滞后循环下面的三个位置
，覆盖整个过滤器。首先，残差
计算只是第二个轴上常见的一维卷积。接下来，伴随遵循交换输入和输出空间的常规规则。然后约束线不仅保留1.0，还有它前面的零。最后，更新行
。
几乎所有用于拟合模型以调查数据的代码都需要二维PEF，对一维代码的直接扩展允许在空间的二维区域中平均统计信息。将该区域定义为大约
像素的面积。因此用
来更新过滤器，从邻近的轨迹
来更新PEF，文章建议从加权平均值a更新
标度因子和为统一，因此我们可以用
和
来指定它们，在代码中称为cos2t和sin2t。我们需要在前一个空间级别
为每个过滤器分配内存，因此分配内存
。在x的第一个值处，不能引用前一个x，因此分配的内存应该初始化为零，每个过滤器都有一个正确放置的1.0，同时在代码中通过将
添加到a中
来更新滤波器（代码见P17-18）。
##文章将残差认为是独立的和同分布的（IID），在将模型数据与观测数据进行拟合时，应将残差进行缩放和过滤，使其在方差上与空间和频率的函数一致。第三章在前两章的基础上引入一个算子F，它可以定义广泛的物理设置，在找到一个物理残差之后，就可以通过第1章和第2章来计算其PEF。将PEF应用于物理残差很容易得到统计残差
。剩下的就是升级模型
，同时对于物理残余施加PEF。
对于特殊情况m=0，回归就是文章在前面章节中解决的PEF问题。随着m的增长，残差q（m）中的统计能量E表示为：
模型的失配能量梯度为：计算问题是在找到A的同时，对残差r运用
,它是r的PEF，然后对模型进行更新：
不必是模型的更新方向，迭代线性求解器都计算能量梯度作为其算法的一部分,在寻找a时，我们可以选择在物理空间中包含一个权值W，正则化用另一个PEF B为正则化
增加了数据拟合惩罚。我们在模型的运行中可以将PEF
应用到物理残差
来得到统计残差q，通过通常的交换空间得到s的过程得到伴随，时间t循环可以向前或向后进行（伪代码见P29）。在二维空间中，任意一个轴或两个轴都可以反向运行，翻转坐标轴可以翻转统计数据收集的区域。
##在第四章中介绍了如何用PEF来填充缺失数据，对于平稳和非平稳PEF缺失数据填充来说，常见的预处理步骤实在插值钱生成一个局部平滑的数据副本，平滑地插入缺失的数据区域，然后在PEF填充后将其添加回来。固定PEF填充主要是GIEE方法，它的主要局限性是静态假设数据纹理及其统计量在整个图像区域是不变的，这对于一个以上维度，一个正常的、不连续的PEF布局并不总是落在一组相同的已知值上，可能会产生一些差异。
在非稳态PEF填充中，文章指出可以对数据进行多次传递，并为不同的传递选择不同的方向，由于PEF自适应更新并且能被选择来减少它的预测误差，因此可以期望稳定地外推到间隙中，最有可能的是，随着距离孔边缘的距离，振幅出现尾部偏移。因为任何PEF的前导系数的大小为1，所以这是必然发生的事实。因此，除非所有其他系数都为零，否则PEF的范数都大于1。在遇到间隙时，PEF确实可以产生几何上增加的新值。所以作者提出通过将Y除以我们根据感兴趣区域的实时数据设计的初始PEF滤波器的范数来重新调整Y值，由于预测误差滤波器A在进入间隙时进行了调整，而且每次迭代的调整都不一样，因此得出的结果是必须在每一步重新计算滤波器范数，来确保丢失的数据更新得到控制，并且保持有效增量。除了设置Y和A，文中还提出可以通过改变网格上的插值次数来将缺口汇聚到一起。
##第五章的主要内容是介绍如何解开多分量信号导致的频道串扰，并提出了多路PEF模型。这个数学模型适用于空间中的一个点，它基于两个通道对周围世界作出反应的因果关系和同时性。但是延迟可能会导致文章的方法在原则上失败，在边缘情况（微小延迟），稀疏性的概念对标量信号有帮助。
当数据或模型的组成部分之间不符合比例时，主要通过划分数据y和残差e的方差来缩放它们的每个分量。其中梯度的任何分量都可以被任何正数缩放，这种比例尺仅仅是坐标的变化。对于多通道，文章允许数据方差不同于预测误差方差，因为y的两个分量可能有不同的物理单位。与标量信号的伪代码相比，矢量信号的梯度是一个缩放伴随（代码见p44），不过总是可以用正数来缩放梯度分量。如果程序在一个静止的环境中运行很长一点时间,过滤器A，即
不再变化，则代码最后一行会说残差
与拟合函数
正交。文章还介绍了Cholesky方法（1.写一个未知元素的三角矩阵，2.乘以它的转置，3.注意到一个顺序的方法来解开未知元素）对预测误差方差w矩阵进行缩放，以及在零延迟时对残差r进行decor相关。即使解决了缩放问题，求得的解也仅在任意酉矩阵内是唯一的，因此要选择具有最小熵r输出的酉矩阵U。第五章最后介绍了酉算子，及 最大稀疏角的求解方法。酉算子U不仅是一个数学工具，它在模拟物理世界中旋转的同时还带走了数据原始的稀疏性。
## 为了实现残差的（独立的和同分布）IID估计，文章提出在模型空间上使用PEFs，最终通过在统一网格上从散布的真实数据生成伪数据。由于伪数据通常被网格化到比真实数据更多的位置，因此第六章介绍了如何对数据进行正则化。PEFs中一维与二维线性算子的正则化方法相似，都需要一个统一的笛卡尔网络。在调试单个时间值的代码启动信号时，为了看到能量冲一个信号向周围模型空间位置扩散，将PEFs简化为空间导数，简称
为“平地拟合目标”。同时文章认为应该在一个子程序中进行PEF估计，将其残差r保持在内部，所以不要与进入
的当前残差r混淆。在三维数据中，通过迭代
对信号的（x，y）平面的x和y斜率进行惩罚，并且利用三维平面地球模型来填补空洞，从而来将三维数据正则化。
