题目：
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

链接：​​[leetcode] 53. 最大子序和​​

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：
输入：nums = [0]
输出：0

示例 4：
输入：nums = [-1]
输出：-1

示例 5：
输入：nums = [-100000]
输出：-100000

可以看下b站​​Leetcode力扣 53 手画图解版｜最大子序和 Maximum Subarray​​

动态规划方法一

分析：

关键 1：理解题意

题目要我们找出和最大的连续子数组的值是多少，「连续」是关键字，连续很重要，不是子序列。

题目只要求返回结果，不要求得到最大的连续子数组是哪一个。这样的问题通常可以使用「动态规划」解决。

关键 2：如何定义子问题（如何定义状态）

定义状态（定义子问题）
dp[i]：表示以 nums[i] 结尾 的 连续 子数组的最大和。

说明：「结尾」和「连续」是关键字。



状态转移方程（描述子问题之间的联系）

根据状态的定义，由于​​nums[i]​​​一定会被选取，并且以 ​​nums[i]​​​ 结尾的连续子数组与以 ​​nums[i-1]​​​结尾的连续子数组只相差一个元素 ​​nums[i]​​。

假设数组 ​​nums​​​的值全都严格大于 0，那么一定有 ​​dp[i] = dp[i - 1] + nums[i]​​。

可是 ​​dp[i - 1]​​有可能是负数，于是分类讨论：

  • 如果 ​​dp[i - 1] > 0​​​，那么可以把​​nums[i]​​​ 直接接在 ​​dp[i - 1]​​表示的那个数组的后面，得到和更大的连续子数组；
  • 如果 ​​dp[i - 1] <= 0​​​，那么​​nums[i]​​​ 加上前面的数 ​​dp[i - 1]​​​ 以后值不会变大。于是 ​​dp[i]​​​「另起炉灶」，此时单独的一个 ​​nums[i]​​​ 的值，就是 ​​dp[i]​​。

以上两种情况的最大值就是 ​​dp[i]​​的值，写出如下状态转移方程：

[leetcode] 53. 最大子序和_动态规划


记为「状态转移方程 1」。

状态转移方程还可以这样写，反正求的是最大值，也不用分类讨论了，就这两种情况，取最大即可，因此还可以写出状态转移方程如下：

[leetcode] 53. 最大子序和_算法_02


记为「状态转移方程 2」。


思考初始值
dp[0] 根据定义，只有 1 个数，一定以 nums[0] 结尾，因此 dp[0] = nums[0]。

思考输出

这个问题的输出是把所有的 dp[0]、dp[1]、……、dp[n - 1] 都看一遍，取最大值



代码：

function maxSubArray(nums) {
     let dp = nums

     for (let i=1;i<nums.length;i++){
          // 要么自成一段，要么和前面子数组合并
         dp[i] = Math.max(nums[i],dp[i-1]+nums[i])
     }

     return Math.max(...dp)
 }

总结：

  • 定义dp数组，dp数组中的每个值dp[i]代表着以nums[i]为结尾的最大子序和
  • 写出状态转移方程dp[i] = Math.max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1])
  • 遍历dp数组，求得dp数组中的最大值，就是该题的答案


代码：

function maxSubArray2(nums) {
     let dp = nums
     let res = nums[0];   //最大的和
     
     for (let i=1;i<nums.length;i++){
          // 要么自成一段，要么和前面子数组合并
         dp[i] = Math.max(nums[i],dp[i-1]+nums[i])
         
         // 找出最大的和
         res = Math.max(res,dp[i])
     }

     return res
 }


动态规划方法二

分析：

  1. 首先，不可避免的是要遍历数组，上来就先写好for循环
  2. 遍历的同时要记录两个值：一是子数组的和​​tmpSum​​；二是子数组的和在变化过程中产生的最大值res
  3. 本题最重要的部分在于子数组的和的计算，核心代码就是​​tmpSum = Math.max(tmpSum + num, num);​​
  4. 下面开始啰嗦地解释以上代码：
    为什么是​​​tmpSum + num​​​ 和 ​​num​​之间取最大值呢？
  • 我们可以先考虑一下什么时候​​tmpSum + num​​​会小于​​num​​​，也就是当前数​​num​​​之前的数的和是负数的时候，如果之前的数加起来是负数，又何必要把它加上呢？直接从当前数​​num​​​开始新的子数组不就好了？这种情况下​​tmpSum = num​​
  • 那什么时候​​tmpSum + num​​​会大于​​num​​​呢？就是当前数​​num​​​之前的数加起来是正数，因为本题并没有限制子数组的长度，只要之前的​​tmpSum​​​是正数，可以增加子数组和的大小，就给它加进来。这种情况下​​tmpSum = tmpSum + num​​​ 子数组和​​tmpSum​​每变化一次，​​res​​都要记录一下最大值，只要大了就更新

代码：

function maxSubArray1(nums) {
     let tmpSum= nums[0];
     let res = nums[0];
     for (let i=1;i<nums.length;i++){
         // 以 nums[i]为尾的最大子序和
         tmpSum= Math.max(nums[i],tmpSum+nums[i])
         // 找出最大的和
         res = Math.max(res,tmpSum)
     }

     return res
 }

复杂度分析

时间复杂度：O(N)
空间复杂度：O(1)


参考：
​​​leetcode题解1​​



​​leetcode题解2​​