- 作者： wugenqiang
- 个人博客：https://wugenqiang.gitee.io
- 学习笔记：https://wugenqiang.gitee.io/cs-notes
最大子序列和
【题目】
给定（可能有负数）整数a(1)、a(2)、……a(n)，求 a(1)+a(2)+……+a(j)的最大值。
为方便起见，若所有的整数为负数，则最大子序列和为0.
也就是：在一系列整数中，找出连续的若干个整数，这若干个整数之和 最大。
【代码实现】
- 方法一：穷举法
- 穷举所有可能，由于嵌套三层 for 循环，运行时间 O(N^3)
- 算法思想：算出每个子序列的和，即算出序列中第 i 个到第 j 个数的和 (j >= i) ，并进行比较
- C 语言版：函数原型为 int maxSubSum(int a[]);
#include <stdio.h>
int maxSubSum(int a[]){
int maxSum = 0;
int sum, i, j, k;
int len = sizeof(a) / sizeof(int);
for(i = 0; i < len; i++){
for(j = i; j < len; j++){
sum = 0;
for(k = i; k <= j; k++){
sum += a[k];//计算 a[i] 到 a[j] 的和
}
if(sum > maxSum){
maxSum = sum;
}
}
}
return maxSum;
}
int main(){
int a[] = {-2, 11, -4, 13, -5, -2};
int max = maxSubSum(a);
printf("%d\n",max);
return 0;
}
- C 语言版：函数原型为 int maxSubSum(int a[], int n);
#include <stdio.h>
int maxSubSum(int a[], int n){
int maxSum = 0;
int sum, i, j, k;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = i; j < n; j++){
sum = 0;
for(k = i; k <= j; k++){
sum += a[k];//计算 a[i] 到 a[j] 的和
}
if(sum > maxSum){
maxSum = sum;
}
}
}
return maxSum;
}
int main(){
//int a[] = {-2, 11, -4, 13, -5, -2};
int a[] = { -2, 4, -3, 5, 7, -1, 8, 1 };
int len = sizeof(a) / sizeof(int);//有负数所以 strlen(a) 不能用
int max = maxSubSum(a, len);
printf("%d\n",max);
return 0;
}
- 方法二：
- 在第一种的基础上简化，撤除一层 for 循环，运行时间 O(N^2)
- 算法思想：第一个算法的第三个 for 循环中有大量不必要的重复计算，如：计算 i 到 j 的和，然而 i 到 j-1 的和在前一次的循环中已经计算过，无需重复计算，故该 for 循环可以去掉
- C 语言版
#include <stdio.h>
int maxSubSum(int a[], int n){
int maxSum = 0;
int sum, i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
sum = 0;
for(j = i; j < n; j++){
sum += a[j];
if(sum > maxSum){
maxSum = sum;
}
}
}
return maxSum;
}
int main(){
//int a[] = {-2, 11, -4, 13, -5, -2};
int a[] = { -2, 4, -3, 5, 7, -1, 8, 1 };
int len = sizeof(a) / sizeof(int);//有负数所以 strlen(a) 不能用
int max = maxSubSum(a, len);
printf("%d\n",max);
return 0;
}
- 方法三：分而治之
- 算法思想：把问题分成两个大致相等的子问题，然后递归地对它们求解，这是“分”的部分。“治”阶段将两个子问题的解修补到一起并可能再做些少量的附加工作，最后得到整个问题的解。
- 在该问题中，如果把序列从中间分为两部分，那么最大子序列和可能在三处出现，要么整个出现在输入数据的左半部，要么整个出现在右半部，要么跨越分界线。前两种情况可以递归求解，第三种情况的最大和可以通过求出前半部分（包括前半部分的最后一个元素）的最大和以及后半部分（包含后半部分的第一个元素）的最大和而得到，此时将两个和相加。
- 运行时间 O( N log N )
- C 语言版
#include <stdio.h>
int maxSubSum(int a[], int left, int right){
// 判断是否只有一个元素
if (left == right) {
if (a[left] > 0) {
return a[left];
} else {
return 0;
}
}
int center = (left + right) / 2;
int maxLeftSum = maxSubSum(a, left, center);
int maxRightSum = maxSubSum(a, center + 1, right);
// 左端处理
int maxLeftBorderSum = 0;
int leftBorderSum = 0;
int i;
for (i = center; i >= left; i--) {
leftBorderSum += a[i];
if (leftBorderSum > maxLeftBorderSum) {
maxLeftBorderSum = leftBorderSum;
}
}
// 右端处理
int maxRightBorderSum = 0;
int rightBorderSum = 0;
for (i = center + 1; i <= right; i++) {
rightBorderSum += a[i];
if (rightBorderSum > maxRightBorderSum) {
maxRightBorderSum = rightBorderSum;
}
}
// 返回最大值
int maxBorderSum = maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum;
return maxBorderSum > maxLeftSum ? maxBorderSum > maxRightSum ? maxBorderSum : maxRightSum
: maxLeftSum > maxRightSum ? maxLeftSum : maxRightSum;
}
int main(){
//int a[] = {-2, 11, -4, 13, -5, -2};
int a[] = { -2, 4, -3, 5, 7, -1, 8, 1 };
int max = maxSubSum(a, 0, sizeof(a) / sizeof(int) - 1);
printf("%d\n",max);
return 0;
}
- 方法四：最优起点，扫描法
- 算法思想：设 a[i] 为和最大序列的起点，则如果 a[i] 是负的，那么它不可能代表最优序列的起点，因为任何包含 a[i] 作为起点的子序列都可以通过 a[i+1] 作起点而得到改进。
- 类似的，任何负的子序列也不可能是最优子序列的前缀。
- 运行时间：O(N)
- C 语言版
#include <stdio.h>
int maxSubSum(int a[], int n){
int maxSum = 0;
int sum = a[0], i;
/*考虑如果全是负数，那么返回最大的负数，
如果最后的和为正，那么就使用扫描法*/
for(i = 1; i < n; i++){
if(sum < 0){//当前数小于0，换为下一个数
sum = a[i];
}else{
sum += a[i];
}
if(sum > maxSum){
maxSum = sum;
}
}
return maxSum;
}
int main(){
//int a[] = {-2, 11, -4, 13, -5, -2};
int a[] = { -2, 4, -3, 5, 7, -1, 8, 1 };
int len = sizeof(a) / sizeof(int);//有负数所以 strlen(a) 不能用
int max = maxSubSum(a, len);
printf("%d\n",max);
return 0;
}
