拉格朗日插值图 java生成 拉格朗日插值实际应用

前言

最近在做历年的NOI原题，然后就做到了[NOI2019] 机器人，惊讶地发现我居然没学过拉格朗日插值🤡！

之前的省选题本来有一道拉插的题（[省选联考 2022] 填树），但是在 $\rm O\red{neInDark}$

简介

粘的别人的
在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。如果对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为拉格朗日（插值）多项式。

拉格朗日插值法

众所周知，给出一个 $n$ 次多项式的 $n+1$ 个点值可以唯一地求出这个多项式，一个朴素的求法就是列出 $n+1$ 个方程然后使用高斯消元，复杂度 $O(n^3)$，往往还伴随精度问题。

而拉格朗日插值法可以在 $O(n^2)$

直接上拉格朗日插值公式：
$f(x)=\sum_{i=0}^ny_i\prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$这个式子十分巧妙，因为带入后可以发现它刚好能取到所有的点值，并且次数最大为 $n$。

用这个公式直接求多项式虽然也是 $O(n^3)$（还比高消慢），但是是可以优化滴！

我们可以先求出 $g(x)=\prod_{i=0}^n(x-x_i)$，然后枚举 $y_i$ 时先 $O(n)$ 计算下面的 $\prod_{j\neq i}\frac{1}{x_i-x_j}$，然后由于 $g(x)$ 在计算的时候没有被掐断，所以单个 $(x-x_i)$ 可以整除 $g(x)$，直接 $O(n)$ 递推求出 $\prod_{j\neq i}(x-x_j)$ 即可（注意特判 $x_i=0$）。这样总的复杂度就降为了 $O(n^2)$。

求单个点值

这里求单个点值的意思是给出 $k\notin \{x_i|0\le i\le n\}$，我们需要求 $f(k)$。

我们显然可以直接求出 $f(x)$ 然后带入求解，但是当我们的目的仅仅是求出 $f(k)$

我们不妨直接带入拉格朗日插值公式：
$f(k)=\sum_{i=0}^ny_i\prod_{j\neq i}\frac{k-x_j}{x_i-x_j}$由于不再是求多项式，所以我们可以在 $O(n)$ 时间内求出所有的 $\prod_{j\neq i}(k-x_j)$，然后每次枚举 $y_i$ 时就只用求 $\prod_{j\neq i}\frac{1}{x_i-x_j}$ 了。虽然还是 $O(n^2)$，但是减小了常数且更简单。

O(n)求单个点值

还是只要求求出 $f(k)$。

在多数应用到拉插的题目中，这 $n+1$ 个点值是满足下标连续，或者等间距的，即 $x_1-x_0=x_2-x_1=...=x_n-x_{n-1}$。

此时我们可以做些预处理（比如当间距等于 1 的时候，你需要预处理阶乘的逆元），然后就可以单次 $O(1)$ 求出 $\prod_{j\neq i}\frac{1}{x_i-x_j}$。（需要特别注意符号问题）

应用

有一个经典问题：计算 $\sum_{i=1}^ni^k$。这个问题显然可以用斯特林反演 $O(k\log k\sim k^2)$

众所周知这个东西是一个关于 $n$ 的 $k+1$ 次多项式，所以我们可以先 $O(k)$（忽略快速幂，你也可以用线性筛）求出前 $k+2$ 个点值，然后用上面的方法 $O(k)$ 拉插求出 $n$ 处的答案，这样总复杂度只有 $O(k)$。

更实用的场景是在一些DP题中，比如你需要求 $m$ 个DP值来转移，但是你发现这 $m$ 个点值的函数是一个次数较小的 $n$ 次多项式，那么就可以只求前 $n+1$

一般要看出这是个多项式需要归纳证明，但是我不会

进阶：快速插值

回到最初的问题上，我们需要求出多项式 $f(x)=\sum_{i=0}^ny_i\prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$。如果 $n\le 10^5$

我们需要把 $O(n^2)$

稍微变一下式子：
$f(x)=\sum_{i=0}^n\frac{y_i}{\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)}\prod_{j\neq i}(x-x_j)\\ =\sum_{i=0}^n\frac{y_i(x_i-x_i)}{g(x_i)}\frac{g(x)}{x-x_i}$但是这个时候式子就变得很奇怪：$\frac{x_i-x_i}{g(x_i)}$

然而，正因为上下两边都是0，我们可以使用洛必达法则：
$\lim_{x\rightarrow x_i}\frac{x-x_i}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_i}\frac{1}{g$所以第一步，我们可以先分治NTT求出 $g(x)$、$g$，然后多项式多点求值求出每一个 $g$。

剩下还有 $\frac{g(x)}{x-x_i}$ 这部分，再用一次分治NTT即可。

于是我们可以在 $O(n\log^2 n)$