算法描述
最长上升子序列(Longest Increasing Subsequence, 简称LIS)是dp中比较经典的一个算法模型, 在计算机科学上是指一个序列中最长的单调递增的子序列。它有一种朴素的算法O(n^2)和一种优化版的算法Ｏ(nlogn)实现。
O(n²)算法
记数组为a[0...n-1]来存储序列中的值,算法具体如下:
状态定义: dp[i]代表必须以a[i]为结尾的LIS的长度.
状态转移: dp[i] = max(dp[i], max(dp[j]) + 1) if j < i and a[j] < a[i]
状态初始化: dp[i]=1
时间复杂度: 状态数为n, 每次转移复杂度是O(n), 所以算法总复杂度是O(n^2)
O(n^2)算法模板：
#include <iostream>
using namespace std;
int a[10010];
int dp[10010];
int main() {
int n;
while(cin>>n&&n){
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>a[i];
dp[i]=1;
}
int ans=1; //注意当测试用例仅为1时，应输出1
for(int i=1;i<n;i++){
for(int j=0;j<i;j++){
if(a[j]<a[i]){
dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
}
ans=max(ans,dp[i]);
}
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
O(nlogn)算法
下面介绍一种O(nlogn)的LIS算法:
记数组为a[0...n-1];
状态定义:dp[i]代表LIS的第i项最小值, dpLen代表当前dp数组的长度;
状态转移:dp初始为空数组, 我们按a数组元素的下标顺序进行扫描, 假设现在扫描到a[i], 先找到dp数组中第一项大于或等于 a[i]的元素, 记为dp[j]; 将dp[j]更新成a[i]即可; 如果dp数组中没有元素比a[i]大的话, 那么直接将a[i]插入到dp数组的尾部,再更新dp数组长度;整个数组的LIS结果就是dpLen.需要注意的是, 虽然dp数组最终长度就是LIS, 但是里边的元素并不是真正的子序列, 如果要求输出这个序列, 加上一些反向追踪变量就能得到了。
整体算法复杂度:状态转移次数为n, 每次状态转移代码都是logn, 所以总复杂度为O(nlogn).
O(nlogn)算法模板：
#include <iostream>
using namespace std;
int a[40010];
int dp[40010];//dp[i]表示长度为i+1的子序列末尾元素最小值；
const int INF=0x3f3f3f;
int main() {
int T,n;
cin>>T;
while(T--){
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>a[i];
dp[i]=INF;
}
for(int i=0;i<n;i++){
*lower_bound(dp,dp+n,a[i])=a[i];//找到>=a[i]的第一个元素，并用a[i]替换；
}
cout<<lower_bound(dp,dp+n,INF)-dp<<endl;//找到第一个INF的地址减去首地址就是最大子序列的长度；
}
return 0;
}LIS应用
HDU 1257 最少拦截系统(LIS)：模板题,入门。
POJ 2533 Longest Ordered Subsequence(LIS)：模板题,入门。
牛客网 最长上升子序列：模板题,入门。
HDU 1950-Bridging signals (LIS模板题)：O(nlogn)的模板题。
