矩阵基础知识

文章目录

• 1.矩阵的一些基础知识

• 1.1 矩阵只有乘法
• 1.2 向量有点乘(也是内积)和叉乘：
• 1.3 单位向量
• 1.4 正交矩阵
• 1.5 线性无关和线性相关的向量
• 1.6 矩阵的逆
• 1.7 对称矩阵
• 1.7 矩阵的秩（rank）
• 1.8 伴随矩阵
• 1.9 矩阵的零空间
• 1.10 矩阵的扩展基定理

1.矩阵的一些基础知识

1.1 矩阵只有乘法

1.2 向量有点乘(也是内积)和叉乘：

（1）点乘就是两个对应向量值相乘
：得到的是一个数值

• 高中知道两个向量的长度解法：
  $a · b = |a||b|cos<a,b>$
• 如果给出两个向量的值：
  $a=[a_1,a_2,...,a_n] \\ b=[b_1,b_2,...,b_n]$

则两个向量的内积：
$ab=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$

• 学了线性代数之后，发现其实跟高中的向量表示方法是不同的，通常一个向量其实是列向量，即是：

$a= \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} \\ b= \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}$
则两个列向量的乘积通常表示为：

$a^{\mathrm{T}}b = a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$

（2）叉乘得到是一个向量：
$|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>$

1.3 单位向量

向量模为1的向量被称为单位向量。模的计算公式为：
$a=[a_1,a_2,...,a_n] \\ |a| = \sqrt(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)$

1.4 正交矩阵

$AA^{\mathrm{T}}=E$

• 其中$E$为单位矩阵
• 正交矩阵有几个性质：

（1）A的各行是单位向量且两两正交(两个行向量的内积为0)

（2）A的各列是单位向量且两两正交

（3）A的各行（或者列）是模为1的向量

比如：

1.5 线性无关和线性相关的向量

在向量空间V的一组向量$A=[a_1,a_2,...,a_n]$，如果存在不全为零的数$k_1, k_2, ···,k_m$, 使

$k_1a_1+k_2a_2+...+k_na_n = 0$

则称向量组A是线性相关的，否则数$k_1, k_2, ···,k_m$全为0时，称它是线性无关。

1.6 矩阵的逆

$AB=E$

AB=E，则说B为A的逆矩阵

1.7 对称矩阵

对称矩阵（Symmetric Matrices）是指以主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵

1.7 矩阵的秩（rank）

（1）n阶行列式的值怎么求解？

n阶行列式求解方法

• 代数余子式：

• 利用代数余子式求解n阶行列式：

（2）r阶行列式

r阶行列式就是对一个矩阵画r条横线，r条竖线，这个横竖线交叉的元素构成了一个新的数表，这个数表的行列式就叫作这个矩阵的r阶子式。

（3）矩阵的秩

-定义：矩阵中的任意一个r阶子式不为0，且任意的r+1阶子式为0，则阶数r就叫作该矩阵的秩。

• 最简单求矩阵的秩的方法是：化简成上三角或者下三角的行列式，然后数出非零行（或列）的个数。具体方法：javascript:void(0)

1.8 伴随矩阵

矩阵中的全部元素的代数余子式所构成的矩阵就为伴随矩阵。

方阵$A=(a_{ij})_{n \times n}$的各元素的代数余子式$A_{ij}$所构成的如下矩阵$A^*$:

$\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & ... & A_{1n} \\ \vdots & \vdots & ... & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & ... & A_{nn} \\ \end{matrix}$

1.9 矩阵的零空间

如果存在矩阵$A$，要找到它的零空间，须找到所有向量$v$使得$Av=0$.

 

1.10 矩阵的扩展基定理