monogo aggregate 随机 随机模型

数学模型的分类

• 理想模型；

• 上一节中对房屋价格的计算；即“f(x) = ωx + b”

• 随机模型：带观测误差的模型：

• 随机模型包含多个随机变量，不同的随机变量表示不同的总体，或者表示同一总体的不同特征\属性；
• y ≈ f(x) = ωx + b，或y ≈ f(x) + e；

• e：随机观测误差

• D = {(x_1, y_1), (x_2, y_2)…(x_m, y_m)}

• D：样本、\样本集；
• m：样本容量、\样本大小\样本点个数；

随机模型的算法构建过程

• 采集多个样本数据；
• 绘制散点图；
• 对样本点进行弥合；
• 得出最优模型；

• f(x; ω*, b*)
• 方法：

• 最小二乘法（确定性观点）

• 理想模型是存在且精确的，误差由观测造成；

• 极大似然估计（随机性观点）

• 从概率论和随机性的角度解释观测如何造成；
• 市场价=指导价就+误差均值

• Y = f(x) + ε

回归分析方法

• 高尔顿所采用的分析方法：

• 采集样本数据；
• 对数据进行可视化分析；
• 在此基础上提出模型假设；
• 通过最优化（样本拟合度最好）方法确定模型参数（线性模型称为系数）；
• 使用新的样本数据对模型进行验证；

• 在机器学习中，回归分析所研究的问题特指哪些因变量为连续值的问题，或称作预测（predicti）；

• 根据面积计预测房价；

• 机器学习将因变量为离散值的问题称作分类（classification）或者模式识别（pattern recognition）；

• 根据人口数量将城市划分为一线、二线三线或四线城市。

• 某些回归分析也可以做适当变化，用于处理分类问题；

• 逻辑斯谛回归（logisitic regression，或称作对数几率回归）：

• 聚类：由计算机按照数据自身特性自动化分成不同的类别；

• 根据同学的兴趣爱好或者学习习惯自动进行分组；

分类

• 按自变量数目：

• 一元回归和多元回归；

• 按因变量数目：

• 简单回归和多重回归；

• 按函数形式：

• 线性回归和非线性回归；

随机变量与确定性变量

随机变量

• 用大写英文字母表示；
• 每次得到的观测值不完全一样，或者说观测值是随机的；

确定性变量（普通变量）

• 用小写英文字母表示；
• 对某个未知量进行观测或者实验，如果每次实验得到的观测值都一样，或者得到的观测值是确定的；

从确定性变量转到随机变量的原因

• 观测过程存在误差；

• 机器学习基于样本数据建立模型，而样本数据通过实验观测得到，过程中通常会产生随机误差，而机器学习需要考虑观测误差；

• 合并次要因素以简化误差；

• 只考虑主要因素，将次要因素合并成一个随机变量以简化模型；
• 中心极限定理：在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。

• 研究总体的规律性；

• 机器学习通过有限个样本研究总体的规律性；
• 描述总体的规律性最有效的方法是将总体看作随机变量，用概率分布来描述其统计规律性；

对比

• 对于两个随机变量X，Y

• 任给X，存在唯一的Y与之对应，则属于因果关系，可以用函数表示，例如Y=f(X)；
• 任给X，存在多个Y与之对应，则属于相关关系，用概率分布来表示，例如条件概率P(Y|X)，或者联合概率P(X, Y)

• 取值；

• x = x_i ∈ Ω ；确定型变量取值域中唯一的对应值；
• P( X = x_i ), x_i ∈ Ω；随机变量按照概率取值域中不同的值；

• 变量的均值与方差：

• 随机变量：

• E(X)（数学期望）：给定概率分布的情况下不同取值的加权平均值；
• D(X)（方差）：给定概率分布的情况下不同取值相对于均值的分散程度/集中程度；

• 确定性变量：

• E(x) = x（数学期望）
• D(x) = 0（方差）

• 函数：

• 在函数中自变量和因变量同为随机变量或同为普通变量；

数学语言

琴生不等式

对于任意凸函数f，有

f(E(X)) <= E(f(X))

其中，X为任意随机变量；

凸函数

设D ∈ R^n(n维)非空凸集，f为定义在D上的实值函数，即f; D->R,若对于任意两点x_1，x_2 ∈ D，及实数t（0 <= t <= 1），都有

f(tx\_1 + (1 - t)x\_2) <= tf(x\_1) + (1 - t)f(x_2)

则称函数f为D上的凸函数（convex function）

凸集

在欧氏空间中，凸集是对于集合内的每一对点，连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。