R语言 欧式期权定价 r语言 欧式距离

第一种标准化转换公式：x*=D^-1(x-µ)，求出样本x的期望和其协方差矩阵的对角矩阵的逆即可。

第二种标准化转换公式：x*=∑^-1/2(x-µ)，其中∑^-1/2=TΛT′，T为x的协方差矩阵的特征向量矩阵，Λ为x的协方差矩阵的特征值构成的对角矩阵。

第一种转换能够消除各变量单位的或方差差异的影响，但不能消除变量之间的相关性的影响。

第二种转换则可以做到消除变量之间的相关性的影响。

下面是R语言代码：

library(MASS)
Sigma=matrix(c(2,2.2,2.2,7),2)#建立一个2行的协方差矩阵
mu=c(1,1)#期望
set.seed(8)#设置一个随机种子
x=mvrnorm(n=100,mu,Sigma)#随机生成100个随机样本服从期望为mu，协方差为Sigma的二元正态分布
s=cov(x)#计算X的协方差矩阵
plot(x,ylim=c(-10,10),xlim=c(-10,10),pch=20,ylab="y",xlab="x")#对随机样本x的点画图，横纵坐标数值范围为-10到10，画图符号选20号符号

 

#diag函数可以用来提取矩阵的对角元素，并将它保存成向量的格式,然后继续用diag函数来生成给定对角元素的对角阵
D=diag(sqrt(diag(s)))#计算对角矩阵D
meanx=colMeans(x)#按列来求X的均值
#R语言是默认byrow=False，即数据按列输入，byrow=True则是按行输入，rep函数用于重复输出
mean=matrix(rep(meanx,100),nrow=100,byrow=T)#将meanx按行输入100次生成一个100*2的矩阵
x1=t(solve(D)%*%t(x-mean))#标准化转换，D是2*2矩阵，X-mean是100*2矩阵，所以要转置X-mean进行运算，最后再转置回来,%*%是左乘的意思
plot(x1,ylim=c(-10,10),xlim=c(-10,10),pch=20,ylab="y",xlab="x")
cov(x1)#x1的协方差阵

完成第一种标准转换后，确实消除了消除x和y单位的或方差差异的影响，但显然没有消除x对y或y对x的相关性的影响。图中直观看到随着x增加y呈上升趋势，协方差阵cov(x,y),cov(y,x)不为0。下面进行第二种标准转换。

s.eigen=eigen(s)#计算s的特征值和特征向量
s.eigen$vectors#输出s的特征向量
a=s.eigen$values#s的特征值赋值给a
A=diag(a)#计算对角矩阵
T=s.eigen$vectors#S的单位正交特征向量定义了一个新的坐标系
x2=t(t(T)%*%t(x))#将随机样本X投影到新的坐标系T上
plot(x2,ylim=c(-10,10),xlim=c(-10,10),pch=20,ylab="y",xlab="x")
round(cov(x2),4)#求x2协方差，保留四位小数

 

 在x落在由特征向量定义的坐标轴上，可以看到变量间的相关性已经被消除了。相当于将原先的坐标轴旋转了一下。下面就继续消除单位的或方差差异的影响

s1=T%*%sqrt(A)%*%t(T)#求A的平方根矩阵
x3=t(solve(s1)%*%t(x-mean))#标准化转换
plot(x3,ylim=c(-10,10),xlim=c(-10,10),pch=20,ylab="y",xlab="x")
round(cov(x3),4)#求x3协方差，保留四位小数

 

最后再输出所有的plot图，直观的看看变换过程。