逻辑回归模型的亚组分析R语言 逻辑回归 lr

概括

逻辑回归假设数据服从伯努利分布，通过极大似然函数的方法，运用梯度下降来求解参数，从而达到将数据二分类的目标。

一、逻辑回归于线性回归的关系

逻辑回归（Logistic Regression）与线性回归（Linear Regression）简称都为LR，都是一种广义线性模型。逻辑回归假设因变量y服从伯努利分布，线性回归假设因变量y服从高斯分布。逻辑回归以线性回归为理论支持，通过Sigmoid函数引入非线性因素，从而处理二分类问题。

二、假设

假设1：假设数据服从伯努利分布。

伯努利分布：一个离散型概率分布，试验成功取值为1，试验失败取值为0，成功概率记为p，则失败为1-p$f_X(x)=p^x(1-p)^{1-x}= \begin{cases} p, & \text {if $x=1$}\\ 1-p, & \text{if $x=0$}\end{cases}$

伯努利分布应用在逻辑回归的形式：正类的概率为p,负类的概率为q$p=h_\theta(x;\theta) \\ q=1-h_\theta(x;\theta)$

假设2：假设正类的概率由sigmoid函数计算，即：

$p= \frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}}$
预测样本为正类的概率：
$p(y=1|x;\theta)=h_\theta(x;\theta)= \frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}}$
预测为负类的概率：
$p(y=0|x;\theta)=1-h_\theta(x;\theta)= \frac{1}{1+e^{\theta^Tx}}$
组合起来：
$\hat{y}=p=p(y=1|x;\theta)^yp(y=0|x;\theta)^{1-y}$
此时，$\hat{y}$是个概率

三：损失函数

逻辑回归的损失函数是它的极大似然函数。
极大似然估计： 利用已知的样本结果信息，反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值。（模型已定，参数未知）
模型为：
$\hat{y}= \left(\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}} \right) ^y \left(\frac{1}{1+e^{\theta^Tx}} \right)^{1-y}$
参数为里面的 $\theta$。样本为$x,y$，其中$x$为特征，$y$为标签。我们的已知信息就是在特征取这些值的情况下，它应该属于y类（正或负）。

反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的参数，举个例子，我们已经知道了一个样本点，是正类，那么我们把它丢入这个模型后，它预测的结果一定得是正类啊，正类才是正确的，才是我们所期望的，我们要尽可能的让它最大，这样才符合我们的真实标签。反过来一样的，如果你丢的是负类，那这个式子计算的就是负类的概率，同样我们要让它最大，所以此时不用区分正负类。

对于整个训练集，我们期望所有样本的概率都达到最大，也就是我们的目标函数，本身是个联合概率，但是假设每个样本独立，那所有样本的概率就可以写成：
$lossfunction= \quad \prod_{i=1}^N\left(\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx_i}} \right) ^{y_i} \left(\frac{1}{1+e^{\theta^Tx_i}} \right)^{1-y_i}\quad$
其实这个是目标函数，真正的损失函数为真实值和预测值的误差。
由于目标为最大化上面的目标函数，因此进行求导。为了方便计算，进行化简，加$\log$取对数。
$\log(lossfunction)= \quad\sum_{i=1}^n\left( y_i\left(\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx_i}} \right) ^{y_i} +(1-y_i)\left(\frac{1}{1+e^{\theta^Tx_i}} \right)^{1-y_i}\right)\quad$
由于一般都要求最小损失函数，在前面加个负号
$-\log(lossfunction)= \quad-\sum_{i=1}^n\left( y_i\left(\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx_i}} \right) ^{y_i} +(1-y_i)\left(\frac{1}{1+e^{\theta^Tx_i}} \right)^{1-y_i}\right)\quad$
化简后：
$loss = \sum \left((y_i\theta^Tx_i)-\log\left( 1+e^{\theta^T x_i} \right) \right)$

四：求解方法

一般用梯度下降法。梯度下降又分为：随机梯度下降，批梯度下降，small batch梯度下降。

• 批梯度下降会获得全局最优解，缺点是在更新每个参数的时候需要遍历所有的数据，计算量会很大，并且会有很多的冗余计算，导致的结果是当数据量大的时候，每个参数的更新都会很慢。
• 随机梯度下降是以高方差频繁更新，优点是使得sgd会跳到新的和潜在更好的局部最优解，缺点是使得收敛到局部最优解的过程更加的复杂。
• 小批量梯度下降结合了sgd和batch gd的优点，每次更新的时候使用n个样本。减少了参数更新的次数，可以达到更加稳定收敛结果，一般在深度学习当中我们采用这种方法。

五： 逻辑回归的目的

将数据二分类

六：如何分类

设定阈值

七：LR为什么用极大似然函数作为损失函数

一般会和平方损失函数（最小二乘法）进行比较，因为线性回归用的是平方损失函数。
原因就是平方损失函数加上sigmoid函数会是一个非凸函数，不容易求解，得到的是局部解，用对数似然函数得到高阶连续可导凸函数，可以得到最优解。
其次是因为对数损失函数更新更快，只和x,y有关，和sigmoid本身梯度无关。

八：在训练过程中，如果有多个特征高度相关，或者特征重复，会造成什么样的影响？

如果在损失函数最终收敛的情况下，不会影响分类器的效果。

九：那为什么还是要在训练过程中去掉高度相关的特征？

为了让模型的可解释性更好。
可以提高训练速度。如果模型当中有很多特征高度相关的话，就算损失函数本身收敛了，但实际上参数是没有收敛的，这样会拉低训练的速度。其次是特征多了，本身就会增大训练的时间。

十：逻辑回归优缺点总结

优点：

• 形式简单，可解释性强。从特征的权重可以看到不同特征对结果的影响。
• 模型效果好，往往作为baseline。特征工程可并行开发，加快开发速度。
• 训练速度快。分类时，计算量仅仅只和特征数目相关。
• 内存资源占用小，因为只需要存储各个维度的特征值。
• 方便输出结果调整。逻辑回归可以很方便的得到最后的分类结果，因为输出的是每个样本的概率分数，我们可以很容易的对这些概率分数进行cut off，也就是划分阈值(大于某个阈值的是一类，小于某个阈值的是一类)。
  缺点：
• 准确率不高。因为形式简单（类似于线性模型），很难拟合数据的真是分布。
• 无法处理数据不平衡问题。逻辑回归可以很方便的得到最后的分类结果，因为输出的是每个样本的概率分数，我们可以很容易的对这些概率分数进行cut off，也就是划分阈值(大于某个阈值的是一类，小于某个阈值的是一类)。
• 处理非线性数据麻烦。逻辑回归在不引入其他方法的情况下，只能处理线性可分的数据（二分类数据）。
• 逻辑回归本身无法筛选特征。如果要筛选特征，会用GBDT来筛选特征，再加上逻辑回归。