数据结构与算法系列----最小生成树（Prim算法&Kruskal算法）

 一：Prim算法      

1.概览
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

2.算法简单描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
     a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
     b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

3.算法的图例描述

图例	说明	不可选	可选	已选（Vnew）
	此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。	-	-	-
	顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点， 因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此， F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。 E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C， 并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
	现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。 在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

4.简单证明prim算法
反证法：假设prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0)   则在Gmin中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故假设不成立，命题得证.

完整代码如下：

用邻接矩阵存储图，设置两个数组lowCost和adjIndex，其中前者代表边的权值，后者代表对应lowCost该边的起点。

#include<iostream>
using namespace std;

int graph[20][20];//邻接矩阵
char * vertex;//保存顶点

int Prim(int&);

int main()
{

/*

6 10

A B C D E F

0 1 6
0 2 1
0 3 5
1 2 5
1 4 3
3 2 5
3 5 2
2 5 4
2 4 6
4 5 6

*/

  //1.输入图的顶点数和弧数
  cout << "请输入图的顶点数和弧数: ";
  int vexNum, arcNum;
  cin >> vexNum >> arcNum;

  //2.初始化邻接矩阵
  for (int i = 0; i < vexNum; i++)
    for (int j = 0; j < vexNum; j++)
      graph[i][j] = INT_MAX;//无限大

  /3.输入顶点
  cout << "请输入" << vexNum << "个顶点信息: ";
  vertex = new char[vexNum];
  for (int i = 0; i < vexNum; i++)
    cin >> vertex[i];

  //4.输入弧信息（边的方向和权值）
  cout << "请输入" << arcNum << "个弧的信息: \n";
  int a, b, c;
  for (int i = 0; i < arcNum; i++)
  {
    cin >> a >> b >> c;
    graph[a][b] = c;
    graph[b][a] = c;
  }
  
  //5.输出最小生成树
  cout << "\n\n最小树为: \n";
  int x = Prim(vexNum);
  cout << "\n最小权和为" << x << endl<<endl;

  return 0;
}

int Prim(int & _vexNum)//Prim最小生成树
{
  int * lowCost = new int[_vexNum];//保存边上的权值
  int * adjIndex = new int[_vexNum];//
  
  for (int i = 1; i < _vexNum; i++)
  {
    lowCost[i] = graph[0][i];
    adjIndex[i] = 0;
  }
  lowCost[0] = 0;//z这里用了一个技巧，赋值为0表示该点已加入生成树，以后不做处理，相当于经常碰见的visited标记数组，当然你也可以赋值为-1
  adjIndex[0] = 0;

  int min, minIndex,sum=0;
  for (int i = 1; i < _vexNum; i++)
  {
    min = INT_MAX;
    for (int j = 1; j < _vexNum; j++)//找到权值最小
    {
      if (lowCost[j] < min && lowCost[j]!=0)
      {
        min = lowCost[j];
        minIndex = j;
      }
    }

    cout << vertex[adjIndex[minIndex]] << "------>" << vertex[minIndex] << endl;
    sum += min;
    lowCost[minIndex] = 0;
    adjIndex[minIndex] = 0;

    for (int j = 1; j < _vexNum; j++)//更新lowCost和adjIndex数组
    {
      if (graph[minIndex][j] < lowCost[j])
      {
        lowCost[j] = graph[minIndex][j];
        adjIndex[j] = minIndex;
      }
    }
  }
  
  delete []lowCost;
  delete []adjIndex;

  return sum;
}

以上代码所构建的图为：

运行如下：

二：Kruskal算法

1.概览
Kruskal克鲁斯卡尔算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边，直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中，if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中，添加这条边到图Graphnew中。

3.图例描述

首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边 

 

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了左图

 

 

 

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是左图：

4.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础：
        n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
        假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法：

        如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。由数学归纳法，Kruskal算法得证。

代码实现：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

struct Edge//表示一条边
{
  int u;//起始顶点
  int v;//结尾顶点
  int w;//该边的权值
};

bool cmp(Edge edge1, Edge edge2)
{
  return (edge1.w < edge2.w);
}

Edge* edge;//存储边的数组
int* father;
int vexNum, arcNum;//顶点数，边数

int Kruskal();
int Find(int x);
void Join(int x, int y);

int main()
{

/*

6 10

0 1 6
0 2 1
0 3 5
1 2 5
1 4 3
3 2 5
3 5 2
2 5 4
2 4 6
4 5 6

*/

  cout << "请输入图的顶点数和弧数: ";
  cin >> vexNum >> arcNum;

  father = new int[vexNum];
  for (int i = 0; i < vexNum; i++)
    father[i] = i;

  cout << "请输入" << arcNum << "条边的信息:\n";
  edge = new Edge[arcNum];
  for (int i = 0; i < arcNum; i++)
    cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].w;

  cout << Kruskal() << endl;


  delete[]edge;
  delete[]father;

  return 0;
}

int Find(int x)
{
  return (x == father[x]) ? x : Find(father[x]);
}

void Join(int x, int y)
{
  int root_x = Find(x);
  int root_y = Find(y);

  if (root_x != root_y)
    father[root_x] = root_y;
}

int Kruskal()
{
  int sum = 0;//最小路径权值和
  int finished = 0;//最小生成树的边数应该是顶点数-1,在此设置变量标记是否完成

  sort(edge, edge + arcNum, cmp);

  for (int i = 0; i < arcNum&&finished < vexNum - 1; i++)
  {
    int root_u = Find(edge[i].u);
    int root_v = Find(edge[i].v);

    if (root_u != root_v)
    {
      Join(edge[i].u, edge[i].v);

      finished++;

      cout << edge[i].u << "----->" << edge[i].v << endl;

      sum += edge[i].w;
    }
  }

  return sum;
}

数据测试在代码里，方便读者测试程序的正确性。如有错误，请指出，感谢！