距离度量 —— 欧式距离（Euclidean Distance）

Python学习系列文章：​​👉 目录 👈​​

文章目录

• ​​一、概述​​
• ​​二、计算公式​​

• ​​① 二维平面上的欧式距离​​
• ​​② 三维空间上的欧式距离​​
• ​​③ n维空间上的欧式距离​​

一、概述

欧式距离，也称为 欧几里得距离，是我们从小学、初中、高中等等乃至现在都会用到的距离度量。

“两点之间线段最短” 大家都学过吧，这里只不过给换了一个高大上的英文名字，就是我们在小初高等试卷上计算距离的那个公式

二、计算公式

① 二维平面上的欧式距离

假设 二维平面 内有两点：$a(x_{1},y_{1})$ 与 $b(x_{2},y_{2})$

则二维平面的距离公式为：

$d_{12}=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2}$

举个例子，就比如上图的 $A(2,2)$ 与 $B(6,6)$ 两点，计算 $AB$ 两点的距离为：
$\begin{aligned} d_{AB} &=\sqrt{(6-2)^2+(6-2)^2}\\ &=\sqrt{4^2+4^2}\\ &= 4\sqrt{2} \end{aligned}$

② 三维空间上的欧式距离

假设 三维空间 内有两点：$a(x_{1},y_{1},z_{1})$ 与 $b(x_{2},y_{2},z_{2})$

则三维空间的距离公式为：

$d_{12}=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2+(z_{1}-z_{2})^2}$

举个例子，比如上图的 $A(0,0,4)$ 与 $B(0,2,0)$ 两点，计算 $AB$

$\begin{aligned} d_{AB} &=\sqrt{(0-0)^2+(0-2)^2+(4-0)^2}\\ &=\sqrt{0+4+16}\\ &= 2\sqrt{5} \end{aligned}$

③ n维空间上的欧式距离

假设 n维空间 内有两点：$a(x_{11},x_{12},...,x_{1n})$ 与 $b(x_{21},x_{22},...,x_{2n})$

则n维空间的距离公式为：

$d_{12}=\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_{1k}-x_{2k})^2}$

同理，n 维空间也是，将对应的向量作以上运算即可。（n 维的画不出来，需要用其他形式表示，就像下图一样）。