距离度量 —— 闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)

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文章目录

• ​​一、概述​​
• ​​二、计算公式​​

• ​​1. 闵氏距离公式​​
• ​​2. 闵氏距离的参数 p​​
• ​​3. 闵氏距离的缺点​​

一、概述

闵可夫斯基距离 (Minkowski Distance)，也被称为 闵氏距离。它不仅仅是一种距离，而是将多个距离公式（曼哈顿距离、欧式距离、切比雪夫距离）总结成为的一个公式。

二、计算公式

1. 闵氏距离公式

首先假设两个 n 维变量 $A(x_{11},x_{12},...,x_{1n})$ 与 $B(x_{21},x_{22},...,x_{2n})$。

对于这两个 n 维变量，则有闵氏距离公式为：$d_{12}=\sqrt[p]{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^p}$

乍一看，可能觉得这个公式很复杂，也觉得这个公式与前面说到的距离公式（曼哈顿距离、欧式距离、切比雪夫距离）没太大关联，但当我分解一下，就知道有什么关联了。

2. 闵氏距离的参数 p

闵氏距离主要和它的参数 $p$ 有关，$p$

① $p=1$

$\begin{aligned} d_{12}&=\sqrt[p]{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^p} \\ &=\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}| \end{aligned}$

② $p=2$

$\begin{aligned} d_{12}&=\sqrt[p]{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^p} \\ &=\sqrt{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^2}\\ &=\sqrt{\sum_{k=1}^n(x_{1k}-x_{2k})^2}\\ \end{aligned}$

③ $p=\infty$

$\begin{aligned} d_{12}&=\sqrt[p]{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^p} \\ &=\sqrt[\infty]{\sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|^\infty}\\ &=max(|x_{1i}-x_{2i}|) \end{aligned}$

3. 闵氏距离的缺点

① 将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”相同的看待了;

例如：二维样本(身高[单位:cm],体重[单位:kg]),现有三个样本：a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。

a与b的闵氏距离（无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离）等于a与c的闵氏距离。但实际上身高的 10cm 并不能和体重的 10kg 划等号。

② 未考虑各个分量的分布（期望，方差等）可能是不同的。