死磕数学04 斜率

从模糊的、定性的日常概念，推演到精确的、定量的数学概念。 《烧掉数学书——重新发明数学》

将模糊的关于“陡峭”的日常经验改造成数学概念

斜率日常概念

为了让事情简单一点，我们先关注直线。因此在这一节，当我谈论“山”或“陡峭的东西”时，我说的都是直线。

$S=？$

日常概念	推演	说明
	我们可以将陡峭（Steepness）缩写成字母S，但我们还不知道关于它的任何数学	$S=?$
1	陡峭度只取决于垂直位置的变化和水平位置的变化，而不是位置本身。	$S(h, v)=?$
2	不管我们说的“陡峭度”如何定义，一条直线应当处处都有相同的陡峭度。如果有谁定义的“陡峭度”会使得直线在中间改变陡峭度，就肯定不是我们所说的“陡峭度”。	$S(h, v)=S(2h, 2v) \longrightarrow S(h, v)=S(nh, nv)$
	哪么有n种可选? - $S=\frac v h$ 平移的同时爬升 - $S=3\frac v h$ - $S=\frac h v$ 爬升的同时平移 - 其它怪异的公式，不够简单直接。划掉
3	无论“陡峭度”如何定义，水平直线的陡峭度应当为0。	$S(h, 0)=0$
4	无论“陡峭度”如何定义，如果斜坡的水平距离保持不变而高度加倍，则“陡峭度”也应当加倍。	$S(h, 2v)=2S(h,v )$
	认为高度加倍陡峭度也应当加倍则具有一定的简单性和优雅性
	推广所有实数都符合	$S(h, nv)=nS(h,v)$
5	重力方向改变90度（即交换v和h时）只有一个斜坡的陡峭度保持不变。出于优雅和简单的原因，我们给这个斜坡的陡峭度赋值为1。这样在重力方向倾倒时其他所有斜坡的表现都很好。	$S(h,v)=1, h=v$
	最终我们选取	$S=\frac{v}{h}=\frac{爬升}{平移}$

日常概念抽象为数据概念的过程

1. 你从想要概括的日常概念开始。
2. 通常你会对概念应用的简单、熟悉的场景有一些想法。当面临不那么熟悉的场景时，你以这些简单情形为基础决定你的新概念有怎样的性质。
3. 你要求你的数学概念在简单情形中表现的性质类似你的直观概念，有时候对这些简单情形的直接推广也这样要求。
4. 有时候你发现你所有模糊的、定性的要求，一旦缩写为符号语言，就完全锁定了一个精确的数学概念。
5. 5.有时候，你施加的所有直觉要求可能不足以分离出唯一的数学定义。没关系！这时候，数学家通常是看看有哪些候选定义符合他们所有的要求，然后选出最漂亮或最优雅的那个。你对那些定义不清的美学概念进入数学可能会感到吃惊。不用奇怪。

直线

为什么 $f(x)=ax+b$ 是直线呢？

前面梳理斜率时，日常概念2：一条直线应当处处都有相同的陡峭度： $n=\frac{爬升}{平衡}=\frac{(一个点的垂直位置)-(另一个点的垂直位置)}{(一个点的水平位置)-(另一个点的水平位置)}=\frac{M(x)-M(\bar{x})}{x-\bar{x}}$

• 如果 $\bar{x}=0$时，那么$n=\frac{M(x)-M(0)}{x}$
• 两边同时乘以 $x$，那么$nx=M(x)-M(0)$
• 两边同时加上$M(0)$，那么$nx+M(0)=M(x)$
• 等号左右两边调换下，那么 $M(x)=nx+M(0)$ 也就是 $f(x)=ax+b$

喜欢说行话的人将数M（0）称为“y轴截距”，但我们只需知道它是当我们将0放进机器M后得到的数就可以了。