读书笔记：向量

《动手学深度学习》——线性代数

数学

向量可以被视为标量值组成的列表。

在数学表示法中，向量通常记为粗体、小写的符号。latex中使用 \mathbf ，即“boldface”（粗体）

列向量

数学中，向量 $X$可以写成 $\mathbf x=\begin{bmatrix}x_1\\[0.3em]x_2\\[0.3em]\vdots\\[0.3em]x_n\end{bmatrix}$

行向量

$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\end{bmatrix}$

元素

这些标量值被称为向量的元素（element）或分量（component）。

当向量表示数据集中的样本时，它们的值具有一定的现实意义。类比数据库中一条记录（Row）的列（Column），不同位置的列有不同的意义。

访问元素

我们可以使用下标来引用向量的任一元素。

通过$x_i$来引用第$i$个元素，注意，元素xi是一个标量，所以我们在引用它时不会加粗。

向量维度

向量的长度通常称为向量的维度（dimension）。

在数学表示法中，如果我们想说一个向量x由n个实值标量组成，可以将其表示为$x ∈ \mathbb{R}^n$。

点积（Dot Product）

给定两个向量x, y ∈ Rd，它 们的点积（dot product）$x^⊤y$（或$⟨x, y⟩$）是相同位置的按元素乘积的和：$X^T Y = \sum_{i=1}^{d} x_i y_i$。

编程

向量表示

人们通过一维张量表示向量。

x = torch.tensor([0, 1, 2, 3])
y = torch.arange(4)
x, y

结果：

(tensor([0, 1, 2, 3]), tensor([0, 1, 2, 3]))

访问元素

x[3]

结果

tensor(3)

向量维度

len(x)

结果

4

向量形状

当用张量表示一个向量（只有一个轴）时，我们也可以通过.shape属性访问向量的长度。

形状（shape）是一个元素组，列出了张量沿每个轴的长度（维数）。

对于只有一个轴的张量，形状只有一个元素。

x.shape, len(x.shape), x.shape[0]

结果

(torch.Size([4]), 1, 4)

点积

torch.dot(x, y)