文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （337）-- 算法导论23.1 6题

六、证明：如果对于图的每个切割，都存在一条横跨该切割的唯一的轻量级边，则该图存在一棵唯一的最小生成树。并通过举出反例来证明其逆论断不成立。如果要写代码，请用go语言。

文心一言：

证明：

正向证明：

假设图 $ G $ 的每个切割都包含一条横跨该切割的唯一轻量级边（即最小权重的边）。我们需要证明 $ G $ 存在一棵唯一的最小生成树。

1. 存在性：

• 使用Kruskal算法来构建最小生成树。Kruskal算法从最小权重的边开始，逐步添加边到生成树中，直到生成树包含所有顶点。
• 因为对于任何切割，都存在一条唯一的轻量级边横跨该切割，Kruskal算法在每一步中都能选择到一条连接不同连通分量的最小权重边，而不会形成环。
• 因此，Kruskal算法能成功地为图 $ G $ 构建出一棵最小生成树。

2. 唯一性：

• 假设存在两棵不同的最小生成树 $ T_1 $ 和 $ T_2 $。
• 由于它们都是最小生成树，它们包含相同数量的边且总权重相同。
• 考虑 $ T_1 $ 和 $ T_2 $ 的边集之差，即存在某些边在 $ T_1 $ 中而不在 $ T_2 $ 中，反之亦然。
• 我们可以找到这些差异边中的一条，使得在 $ T_1 $ 中用 $ T_2 $ 中的一条边替换它，会导致一个环的形成。
• 假设这个环中 $ T_1 $ 独有的一条边是 $ e_1 $，而 $ T_2 $ 中用于替换的边是 $ e_2 $。
• 由于 $ T_1 $ 是最小生成树，$ e_1 $ 必须是横跨某个切割的轻量级边。
• 但由于 $ e_2 $ 也能连接 $ e_1 $ 所连接的两个连通分量，且 $ T_2 $ 也是最小生成树，这意味着 $ e_2 $ 也必须是该切割的轻量级边。
• 这与“每个切割存在唯一的轻量级边”相矛盾，因为如果存在两个轻量级边 $ e_1 $ 和 $ e_2 $ 横跨同一切割，则它们中的一条不是唯一的。
• 因此，不存在两棵不同的最小生成树，证明了唯一性。

反向证明（举出反例）：

考虑一个简单的图，它由三个顶点 $ A, B, C $ 和三条边 $ (A, B, 1), (B, C, 1), (A, C, 2) $ 组成，其中每条边后面的数字表示其权重。

• 显然，这个图存在两棵最小生成树：一棵包含边 $ (A, B, 1) $ 和 $ (B, C, 1) $，另一棵包含边 $ (A, B, 1) $ 和 $ (A, C, 2) $。
• 但对于任何切割（在这个简单图中只有几种可能的切割），都不存在横跨该切割的唯一的轻量级边（因为 $ (A, B) $ 和 $ (B, C) $ 都是轻量级边，且它们都横跨了从 $ A $ 到 $ C $ 的切割）。
• 因此，这个反例证明了逆论断不成立。

Go 语言代码实现（用于生成最小生成树，但注意代码本身不直接证明唯一性）

由于直接证明唯一性在代码中不直观，我们可以使用Kruskal算法来展示如何找到最小生成树（尽管不直接证明唯一性）：

package main

import (
    "fmt"
    "sort"
)

type Edge struct {
    src, dest, weight int
}

type UnionFind struct {
    parent []int
    rank   []int
}

func NewUnionFind(n int) *UnionFind {
    parent := make([]int, n)
    rank := make([]int, n)
    for i := range parent {
        parent[i] = i
        rank[i] = 0
    }
    return &UnionFind{parent, rank}
}

func (uf *UnionFind) Find(x int) int {
    if uf.parent[x] != x {
        uf.parent[x] = uf.Find(uf.parent[x])
    }
    return uf.parent[x]
}

func (uf *UnionFind) Union(x, y int) {
    rootX, rootY := uf.Find(x), uf.Find(y)
    if rootX != rootY {
        if uf.rank[rootX] < uf.rank[rootY] {
            uf.parent[rootX] = rootY
        } else if uf.rank[rootX] > uf.rank[rootY] {
            uf.parent[rootY] = rootX
        } else {
            uf.parent[rootY] = rootX
            uf.rank[rootX]++
        }
    }
}

func kruskal(n int, edges []Edge) []Edge {
    sort.Slice(edges, func(i, j int) bool {
        return edges[i].weight < edges[j].weight
    })

    uf := NewUnionFind(n)
    mst := []Edge{}

    for _, e := range edges {
        if uf.Find(e.src) != uf.Find(e.dest) {
            uf.Union(e.src, e.dest)
            mst = append(mst, e)
            if len(mst) == n-1 {
                break
            }
        }
    }

    return mst
}

func main() {
    edges := []Edge{{0, 1, 1}, {1, 2, 1}, {0, 2, 2}}
    mst := kruskal(3, edges)
    for _, e := range mst {
        fmt.Printf("(%d, %d, %d)\n", e.src, e.dest, e.weight)
    }
}

这段代码实现了Kruskal算法来找到最小生成树，但它不直接证明最小生成树的唯一性。

讯飞星火：

首先，我们需要明确什么是轻量级边。在图论中，轻量级边是指权重最小的边。对于无向图，如果存在一条横跨切割的唯一的轻量级边，那么这条边必然是最小生成树的一部分。这是因为最小生成树的定义就是连接所有顶点的权重最小的边的集合。

证明：假设我们有一个图G，对于每个切割都存在一条横跨该切割的唯一的轻量级边。我们可以按照以下步骤构建最小生成树：

1. 从任意一个顶点开始，选择一条横跨切割的轻量级边，将其加入最小生成树。
2. 重复步骤1，直到所有顶点都被加入最小生成树。

由于每次选择的都是横跨切割的轻量级边，所以最终得到的最小生成树是唯一的。

反例：考虑一个没有轻量级边的图，例如完全图中的所有边都有相同的权重。在这种情况下，我们不能找到横跨切割的唯一轻量级边，因此不能构建唯一的最小生成树。

以下是用Go语言实现的一个简单示例，用于构建最小生成树（Kruskal算法）：

package main

import (
	"fmt"
	"sort"
)

type Edge struct {
	u, v, weight int
}

func find(parent []int, i int) int {
	if parent[i] == -1 {
		return i
	}
	return find(parent, parent[i])
}

func union(parent []int, x, y int) {
	xset := find(parent, x)
	yset := find(parent, y)
	parent[xset] = yset
}

func kruskalMST(graph []Edge, V int) []Edge {
	sort.Slice(graph, func(i, j int) bool {
		return graph[i].weight < graph[j].weight
	})

	parent := make([]int, V)
	for i := range parent {
		parent[i] = -1
	}

	mst := make([]Edge, 0)

	e := 0
	i := 0
	for e < V-1 && i < len(graph) {
		u := graph[i].u
		v := graph[i].v

		x := find(parent, u)
		y := find(parent, v)

		if x != y {
			e++
			mst = append(mst, graph[i])
			union(parent, x, y)
		}
		i++
	}

	return mst
}

func main() {
	V := 4
	graph := []Edge{
		{0, 1, 10},
		{0, 2, 6},
		{0, 3, 5},
		{1, 3, 15},
		{2, 3, 4},
	}

	mst := kruskalMST(graph, V)
	fmt.Println("Edges in the constructed MST")
	for _, edge := range mst {
		fmt.Printf("%d -- %d == %d
", edge.u, edge.v, edge.weight)
	}
}

注意：这个示例仅适用于无向图，且图中的边权重都是正整数。在实际应用中，可能需要对代码进行修改以适应其他类型的图和权重。

360智脑：

首先，我们来证明原命题：如果对于图的每个切割，都存在一条横跨该切割的唯一的轻量级边，则该图存在一棵唯一的最小生成树。

证明： 假设图G的每个切割都存在一条横跨该切割的唯一的轻量级边。我们要证明G存在一棵唯一的最小生成树T。

我们可以使用Kruskal算法来构造最小生成树T。Kruskal算法的基本思想是按照边的权重从小到大排序，然后依次加入到生成树中，如果加入某条边不会形成环，则将其加入生成树。

由于每个切割都存在一条横跨该切割的唯一的轻量级边，所以在Kruskal算法的每一步，我们都可以选择一条轻量级边加入到生成树T中，而不会形成环。这是因为如果有两条边跨越同一个切割，那么至少有一条边不是轻量级边，这与我们的假设矛盾。因此，每次加入的边都是唯一的。

最终，我们会得到一棵最小生成树T，并且由于每次加入的边都是唯一的，所以这棵最小生成树也是唯一的。

接下来，我们来证明逆命题不成立：即使图存在一棵唯一的最小生成树，也不一定对于每个切割都存在一条横跨该切割的唯一的轻量级边。

反例：考虑一个由三个节点A、B、C和三条边(A, B)、(B, C)、(A, C)组成的图，其中边(A, B)的权重为1，边(B, C)的权重为2，边(A, C)的权重为3。这个图的最小生成树是唯一的，即包含边(A, B)和(B, C)。但是，对于切割{A, C}，有两条边(A, B)和(B, C)横跨该切割，且边(A, B)是轻量级边，所以并不是唯一的。

现在，我们用Go语言编写一个简单的程序来验证上述反例：

package main

import (
	"fmt"
)

type Edge struct {
	from, to   string
	weight int
}

func findMinSpanningTree(edges []Edge, nodes []string) ([]Edge, bool) {
	// Kruskal's algorithm implementation here...
	// This is a placeholder as the full implementation is beyond the scope of this answer.
	return nil, false
}

func main() {
	nodes := []string{"A", "B", "C"}
	edges := []Edge{
		{"A", "B", 1},
		{"B", "C", 2},
		{"A", "C", 3},
	}

	minTree, _ := findMinSpanningTree(edges, nodes)
	fmt.Println("Minimum Spanning Tree:", minTree)

	// Check for unique light edge across each cut...
	// This is also a placeholder as the full implementation is beyond the scope of this answer.
}

在这个Go代码中，我们定义了一个Edge结构体来表示图中的边，以及一个findMinSpanningTree函数来找到最小生成树。主函数中定义了反例的节点和边，并调用了findMinSpanningTree函数来找到最小生成树。然而，由于完整的Kruskal算法实现超出了这个问题的范围，我们在这里只提供了一个框架。实际的代码需要包括Kruskal算法的完整实现，以及检查每个切割是否存在唯一的轻量级边的逻辑。

智谱清言：

首先，我们来证明原命题：如果对于图的每个切割，都存在一条横跨该切割的唯一的轻量级边，则该图存在一棵唯一的最小生成树。

证明： 假设图G的每个切割都存在一条横跨该切割的唯一的轻量级边。我们要证明G存在一棵唯一的最小生成树T。

我们可以使用Kruskal算法来构造最小生成树T。Kruskal算法的基本思想是按照边的权重从小到大排序，然后依次加入到生成树中，如果加入某条边不会形成环，则将其加入生成树。

由于每个切割都存在一条横跨该切割的唯一的轻量级边，所以在Kruskal算法的每一步，我们都可以选择一条轻量级边加入到生成树T中，而不会形成环。这是因为如果有两条边跨越同一个切割，那么至少有一条边不是轻量级边，这与我们的假设矛盾。因此，每次加入的边都是唯一的。

最终，我们会得到一棵最小生成树T，并且由于每次加入的边都是唯一的，所以这棵最小生成树也是唯一的。

接下来，我们来证明逆命题不成立：即使图存在一棵唯一的最小生成树，也不一定对于每个切割都存在一条横跨该切割的唯一的轻量级边。

反例：考虑一个由三个节点A、B、C和三条边(A, B)、(B, C)、(A, C)组成的图，其中边(A, B)的权重为1，边(B, C)的权重为2，边(A, C)的权重为3。这个图的最小生成树是唯一的，即包含边(A, B)和(B, C)。但是，对于切割{A, C}，有两条边(A, B)和(B, C)横跨该切割，且边(A, B)是轻量级边，所以并不是唯一的。

现在，我们用Go语言编写一个简单的程序来验证上述反例：

package main

import (
	"fmt"
)

type Edge struct {
	from, to   string
	weight int
}

func findMinSpanningTree(edges []Edge, nodes []string) ([]Edge, bool) {
	// Kruskal's algorithm implementation here...
	// This is a placeholder as the full implementation is beyond the scope of this answer.
	return nil, false
}

func main() {
	nodes := []string{"A", "B", "C"}
	edges := []Edge{
		{"A", "B", 1},
		{"B", "C", 2},
		{"A", "C", 3},
	}

	minTree, _ := findMinSpanningTree(edges, nodes)
	fmt.Println("Minimum Spanning Tree:", minTree)

	// Check for unique light edge across each cut...
	// This is also a placeholder as the full implementation is beyond the scope of this answer.
}

在这个Go代码中，我们定义了一个Edge结构体来表示图中的边，以及一个findMinSpanningTree函数来找到最小生成树。主函数中定义了反例的节点和边，并调用了findMinSpanningTree函数来找到最小生成树。然而，由于完整的Kruskal算法实现超出了这个问题的范围，我们在这里只提供了一个框架。实际的代码需要包括Kruskal算法的完整实现，以及检查每个切割是否存在唯一的轻量级边的逻辑。

天工：

证明

命题：

如果对于图的每个切割，都存在一条横跨该切割的唯一的轻量级边，则该图存在一棵唯一的最小生成树。

证明步骤：

1. 定义与假设

• 假设图 \(G=(V,E)\) 满足对每个切割 \(S, V-S\)，都存在唯一的轻量级边 \(e_S\)。
• 假设 \(G\) 有至少两棵不同的最小生成树 \(T_1\) 和 \(T_2\)。

2. 矛盾法

• 考虑 \(T_1\) 和 \(T_2\) 的对称差 \(E(T_1 \Delta T_2)\)。
• \(E(T_1 \Delta T_2)\) 包含在 \(T_1\) 中但不在 \(T_2\) 中的边，以及在 \(T_2\) 中但不在 \(T_1\) 中的边。
• 选择 \(E(T_1 \Delta T_2)\) 中的一条边 \(e \in T_1\)，但 \(e \notin T_2\)。由于 \(T_1\) 和 \(T_2\) 都是生成树，\(e\) 的添加将导致 \(T_2\) 中形成一个环。
• 由 \(e\) 形成的环中，必然有一条边 \(e'\) 属于 \(T_2\) 但不属于 \(T_1\)，因为如果环中所有边都属于 \(T_1\)，那么 \(T_1\) 将包含环，这违背了树的定义（无环）。
• 由于 \(e\) 和 \(e'\) 分属不同的最小生成树，它们不能是同一条边，否则 \(T_1\) 和 \(T_2\) 会相同。

3. 切割与轻量级边

• 考虑由 \(e\) 形成环的切割 \(S\) 和 \(V-S\)。由于 \(e\) 是 \(T_1\) 中的唯一路径，它必须是横跨切割 \(S\) 和 \(V-S\) 的唯一轻量级边。
• 但是，\(e'\) 也横跨这个切割，这与假设中每个切割存在唯一轻量级边的条件矛盾。

4. 结论

• 因此，我们的假设（\(G\) 有两棵不同的最小生成树）是错误的。所以，如果对于图的每个切割都有唯一的轻量级边，则该图存在唯一的最小生成树。

反例

逆论断：

如果图存在唯一的最小生成树，则对每个切割都存在一条横跨该切割的唯一的轻量级边。

反例说明：

• 构造图：考虑一个由三个顶点 \(A, B, C\) 和边集 \(\{AB, AC, BC\}\) 组成的完全图，假设所有边的权重相等。
• 分析：该图有唯一的最小生成树（任何两条边的组合），但是对切割 \(\{A\}, \{B,C\}\)，存在两条轻量级边 \(AB\) 和 \(AC\)。

代码示例

由于此问题主要是数学证明与图论概念，并非具体实现问题，通常无需编写代码来证明或展示。然而，如果需要展示如何在 Go 语言中表示一个简单图和其切割，可以考虑如下代码片段：

package main

import (
	"fmt"
)

type Graph struct {
	Vertices map[string]bool
	Edges    map[string][]string
}

func NewGraph() *Graph {
	return &Graph{
		Vertices: make(map[string]bool),
		Edges:    make(map[string][]string),
	}
}

func (g *Graph) AddVertex(v string) {
	g.Vertices[v] = true
}

func (g *Graph) AddEdge(v1, v2 string) {
	g.Edges[v1] = append(g.Edges[v1], v2)
	g.Edges[v2] = append(g.Edges[v2], v1)
}

func main() {
	g := NewGraph()
	g.AddVertex("A")
	g.AddVertex("B")
	g.AddVertex("C")
	g.AddEdge("A", "B")
	g.AddEdge("A", "C")
	g.AddEdge("B", "C")
	fmt.Println(g)
}

这段代码创建了一个简单的图，并展示了如何添加顶点和边，但并不直接证明或展示逆论断的不成立。逆论断的不成立是基于数学逻辑和图论的分析，而非编程实现。

chatgpt：

要证明如果对于图的每个切割，都存在一条横跨该切割的唯一的轻量级边，则该图存在一棵唯一的最小生成树，可以使用切割定理和最小生成树性质来进行证明。

证明： 假设对于图 G 的每个切割，都存在一条横跨该切割的唯一轻量级边。我们需要证明图 G 存在唯一的最小生成树。

首先，假设 T 是一个由图 G 的所有顶点组成的连通子图，并且 T 不是 G 的最小生成树。那么必然存在另一个连通子图 T' 使得 T' 比 T 更小。

现在我们考虑将 T' 和 G-T' 的边集合称为 F。由于 T 是由 G 的所有顶点组成的连通子图，所以 F 必然包含了一个横跨任意切割 (S, V-S) 的轻量级边。

现在我们从这些轻量级边中选择其中权重最小的边 e，并且将其加入到 T 中。显然，T ∪ {e} 仍然是一个连通子图，并且它比原先的 T 要更小。

这样反复进行上述操作，直到找不到满足条件的边为止。那么此时得到的 T 就是图 G 的最小生成树。而根据我们的假设，每个切割都存在一条横跨该切割的唯一轻量级边，所以最终得到的最小生成树是唯一的。

下面我们来举一个反例来证明逆论断不成立：

考虑以下图 G：

A---B
  / \ / \
 C---D---E

其中，AB、CD 和 DE 的权重都为 1。可以看出，对于任何一个切割 (S, V-S)，都存在一条横跨该切割的轻量级边：AC、BD 或 DE。

然而，在这个图中，有两棵不同的最小生成树：{A, B, C} 和 {A, B, D}。因此，即使对于所有切割都满足条件，也不能保证存在唯一的最小生成树。

关于代码实现，请见下方使用 Go 语言编写的示例代码：

package main

import (
	"fmt"
	"sort"
)

type Edge struct {
	Start, End, Weight int
}

type Graph struct {
	Edges []Edge
}

func (g *Graph) AddEdge(start, end, weight int) {
	g.Edges = append(g.Edges, Edge{Start: start, End: end, Weight: weight})
}

func (g *Graph) Kruskal() []Edge {
	sort.Slice(g.Edges, func(i, j int) bool {
		return g.Edges[i].Weight < g.Edges[j].Weight
	})

	parent := make([]int, len(g.Edges))
	rank := make([]int, len(g.Edges))

	for i := range parent {
		parent[i] = i
		rank[i] = 0
	}

	var result []Edge

	for _, edge := range g.Edges {
		startParent := find(parent, edge.Start)
		endParent := find(parent, edge.End)

		if startParent != endParent {
			result = append(result, edge)
			union(parent, rank, startParent, endParent)
		}
	}

	return result
}

func find(parent []int, node int) int {
	if parent[node] != node {
		parent[node] = find(parent, parent[node])
	}
	return parent[node]
}

func union(parent []int, rank []int, x int, y int) {
	xRoot := find(parent, x)
	yRoot := find(parent, y)

	if rank[xRoot] < rank[yRoot] {
		parent[xRoot] = yRoot
	} else if rank[xRoot] > rank[yRoot] {
		parent[yRoot] = xRoot
	} else {
		parent[yRoot] = xRoot
		rank[xRoot]++
	}
}

func main() {
	g := Graph{}
	g.AddEdge(0, 1, 1)
	g.AddEdge(0, 2, 2)
	g.AddEdge(1, 3, 3)
	g.AddEdge(1, 4, 4)
	g.AddEdge(2, 3 ,5)

	mst := g.Kruskal()

	fmt.Println("Minimum Spanning Tree:")
	for _, edge := range mst {
	    fmt.Printf("%d -- %d (weight: %d)\n", edge.Start+1,
	    	  edge.End+1, edge.Weight)
	}
}

这段代码使用 Kruskal 算法求解最小生成树，并输出结果。可以在测试中进行修改和验证。

kimi：

首先，我们来证明正论断：

定理：如果对于图的每个切割，都存在一条横跨该切割的唯一轻量级边，则该图存在一棵唯一的最小生成树。

证明：

1. 定义：在图论中，一个切割是将图的顶点集分割成两个非空不相交的子集，这两个子集的并集是原图的所有顶点。一个轻量级边是指在所有横跨某个切割的边中权重最小的边。
2. 最小生成树：一个图的最小生成树是一棵包含图中所有顶点的树，并且它的边的总权重是所有这样的树中最小的。
3. 唯一性：如果对于图的每个切割，都存在一条横跨该切割的唯一轻量级边，那么在构造最小生成树的过程中，每次选择横跨当前切割的轻量级边时，选择是唯一的。这意味着，无论从哪个顶点开始构造，最终都会得到同一棵最小生成树。
4. 构造过程：从任意一个顶点开始，每次选择一个横跨当前未连接的顶点集合的轻量级边，直到所有顶点都被连接起来。由于每个切割的轻量级边是唯一的，这个过程不会有两个不同的选择，因此构造出的树是唯一的。
5. 最小性：由于每次添加的都是轻量级边，所以构造出的树的总权重不会大于任何其他可能的生成树的总权重。因此，它是最小生成树。

反例：现在我们来举一个反例来证明逆论断不成立，即存在一个图，它有不止一棵最小生成树，但每个切割至少有一条轻量级边。

考虑一个图，它由四个顶点 \( A, B, C, D \) 组成，边 \( AB \) 和 \( CD \) 的权重为1，边 \( AC \) 和 \( BD \) 的权重为2。这个图的最小生成树有两棵，一棵是 \( AB + CD \)，另一棵是 \( AC + BD \)。但是，对于切割 \( (A, BCD) \) 和 \( (ABC, D) \)，都存在两条轻量级边 \( AC \) 和 \( BD \)，它们权重相同，因此这个图不满足正论断的条件。

Go语言代码：下面是一个简单的Go语言代码示例，用于找到并打印一个图的最小生成树的边（如果存在唯一的最小生成树）。

package main

import (
	"fmt"
	"sort"
)

type Edge struct {
	From, To int
	Weight   int
}

type Graph struct {
	Edges []Edge
}

func (g *Graph) FindUniqueMinimumSpanningTree() []Edge {
	// 这里只是一个示例，实际的算法会更复杂
	sort.Slice(g.Edges, func(i, j int) bool {
		return g.Edges[i].Weight < g.Edges[j].Weight
	})

	var mst []Edge
	var visited [5]bool // 假设顶点编号从0到4

	for _, edge := range g.Edges {
		if !visited[edge.From] && !visited[edge.To] {
			mst = append(mst, edge)
			visited[edge.From] = true
			visited[edge.To] = true
			break // 假设只有一个连接组件
		}
	}

	return mst
}

func main() {
	g := Graph{
		Edges: []Edge{
			{0, 1, 1},
			{2, 3, 1},
			{0, 2, 2},
			{1, 3, 2},
		},
	}

	mst := g.FindUniqueMinimumSpanningTree()
	fmt.Println("Minimum Spanning Tree edges:")
	for _, edge := range mst {
		fmt.Printf("%d - %d (Weight: %d)\n", edge.From, edge.To, edge.Weight)
	}
}

请注意，这个代码只是一个非常简化的示例，它不会检查是否每个切割都有唯一的轻量级边，也不会处理图中可能存在的多个连接组件。在实际应用中，构造最小生成树的算法（如Kruskal或Prim算法）会更加复杂。

混元：

证明：

首先，我们需要理解题目中的概念：

• 切割：在图中，将顶点集分成两个非空子集的划分。
• 轻量级边：横跨切割的边中权重最小的边。
• 最小生成树：一个连通无向图的子图，它是一棵包含所有顶点的树，并且边的总权重尽可能小。

定理：如果对于图的每个切割，都存在一条横跨该切割的唯一的轻量级边，则该图存在一棵唯一的最小生成树。

证明：

1. 唯一性：由于每个切割都有一条唯一的轻量级边，这意味着在构建最小生成树的过程中，每次选择加入树的边都是唯一确定的。因此，最终构建出的最小生成树也是唯一的。
2. 存在性：我们可以使用Kruskal算法来构建最小生成树。Kruskal算法按照边的权重顺序选择边，并确保不会形成环。由于每个切割都有唯一的轻量级边，我们可以保证在选择边的过程中不会遗漏任何必要的边，从而确保最终能够构建出一棵包含所有顶点的树。

逆论断的反例：

考虑以下图：

A --1-- B --1-- C
 \     |     |
  2    1     1
   \   |     |
    \  |     |
     \ |     |
      \|     |
       D --1-- E

在这个图中，对于切割{A, D}和{B, C, E}，横跨切割的轻量级边分别是AD和BE，它们都是唯一的。但是，如果我们考虑另一个切割{A, B, C}和{D, E}，横跨切割的轻量级边可以是AB或AC，这取决于边的排序，因此不是唯一的。尽管如此，图仍然可以有多棵最小生成树，例如：

• 树1: A-B-C-E-D-A
• 树2: A-D-E-B-C-A

这两棵树的权重都是相同的，因此图有多棵最小生成树，即使某些切割的轻量级边是唯一的。

Go语言代码示例：

由于证明本身不涉及编程，且逆论断的反例也是通过逻辑推理得出的，所以这里不需要编写Go语言代码。如果需要实现Kruskal算法来找到最小生成树，可以编写如下代码：

package main

import (
	"fmt"
	"sort"
)

type Edge struct {
	Src, Dest, Weight int
}

type Graph struct {
	V, E int
	Edges []Edge
}

type Subset struct {
	Parent, Rank int
}

func NewGraph(V, E int) *Graph {
	return &Graph{V, E, make([]Edge, E)}
}

func (g *Graph) AddEdge(src, dest, weight int) {
	g.Edges = append(g.Edges, Edge{src, dest, weight})
}

func Find(subsets []Subset, i int) int {
	if subsets[i].Parent != i {
		subsets[i].Parent = Find(subsets, subsets[i].Parent)
	}
	return subsets[i].Parent
}

func Union(subsets []Subset, x, y int) {
	rootX := Find(subsets, x)
	rootY := Find(subsets, y)

	if subsets[rootX].Rank < subsets[rootY].Rank {
		subsets[rootX].Parent = rootY
	} else if subsets[rootX].Rank > subsets[rootY].Rank {
		subsets[rootY].Parent = rootX
	} else {
		subsets[rootY].Parent = rootX
		subsets[rootX].Rank++
	}
}

func KruskalMST(graph *Graph) []Edge {
	result := make([]Edge, 0)
	subsets := make([]Subset, graph.V)

	for i := range subsets {
		subsets[i].Parent = i
		subsets[i].Rank = 0
	}

	sort.Slice(graph.Edges, func(i, j int) bool {
		return graph.Edges[i].Weight < graph.Edges[j].Weight
	})

	e := 0
	for i := 0; e < graph.V-1 && i < graph.E; i++ {
		u := Find(subsets, graph.Edges[i].Src)
		v := Find(subsets, graph.Edges[i].Dest)

		if u != v {
			result = append(result, graph.Edges[i])
			e++
			Union(subsets, u, v)
		}
	}

	return result
}

func main() {
	g := NewGraph(5, 7)
	g.AddEdge(0, 1, 1)
	g.AddEdge(1, 2, 1)
	g.AddEdge(2, 3, 1)
	g.AddEdge(3, 4, 1)
	g.AddEdge(0, 4, 2)
	g.AddEdge(1, 4, 1)
	g.AddEdge(2, 4, 1)

	mst := KruskalMST(g)
	for _, edge := range mst {
		fmt.Printf("%d - %d: %d\n", edge.Src, edge.Dest, edge.Weight)
	}
}

这段代码实现了Kruskal算法，用于找到图的最小生成树。注意，这段代码并不直接证明原定理或其逆论断，而是提供了一个工具来验证最小生成树的存在性和唯一性。