文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （336）-- 算法导论23.1 5题

五、设$e$为连通图$G=(V,E)$的某条环路上权重最大的边。证明：图$G'=(V,E-\{e\})$中存在一棵最小生成树，它也同时是$G$的最小生成树。也就是说，图$G$中存在一棵不包含边$e$的最小生成树。如果要写代码，请用go语言。

文心一言：

要证明在连通图$G=(V,E)$中，如果$e$是某条环路上权重最大的边，则图$G'=(V,E-\{e\})$中存在一棵最小生成树，这棵生成树同时也是$G$的最小生成树，我们可以按照以下步骤进行：

证明步骤

1. 假设存在性： 假设$T$是$G$的一棵最小生成树。
2. 考虑边$e$在$T$中的情况：

• 如果$e \notin T$，则$T$也是$G'$的一棵最小生成树，因为$T$的所有边都在$G'$中。
• 如果$e \in T$，由于$e$位于某个环路上，我们可以找到$T$中一条与$e$形成环路的边$f$（即存在路径$P$，使得$P \cup \{e\}$形成环路，且$f \in P$）。

3. 替换边$e$为边$f$：

• 由于$e$是环路上的最大权重边，因此$w(f) < w(e)$。
• 替换$T$中的$e$为$f$，得到新的树$T'$。
• $T'$仍然是$G$的生成树，因为$T'$包含$G$的所有顶点，并且没有环。
• $T'$的总权重小于$T$，因为$w(T') = w(T) - w(e) + w(f) < w(T)$。
• 但这与$T$是最小生成树的假设矛盾，因为$T'$的权重更小。因此，$e$不可能在$G$的任何最小生成树中。

4. 结论： 由于$e$不在任何最小生成树中，$G'$中的任何最小生成树都将是$G$的最小生成树。

Go语言代码实现（模拟思路）

虽然直接编写一个完整的图论算法来找到最小生成树并验证上述定理在Go中可能很复杂，但我们可以编写一个简化的框架来模拟这个过程。这里我们使用Kruskal算法的思想，但仅用于说明如何排除最大边$e$。

package main

import (
    "fmt"
    "sort"
)

type Edge struct {
    from, to, weight int
}

type UnionFind struct {
    parent []int
    rank   []int
}

func NewUnionFind(n int) *UnionFind {
    parent := make([]int, n)
    rank := make([]int, n)
    for i := range parent {
        parent[i] = i
    }
    return &UnionFind{parent, rank}
}

func (uf *UnionFind) Find(x int) int {
    if uf.parent[x] != x {
        uf.parent[x] = uf.Find(uf.parent[x])
    }
    return uf.parent[x]
}

func (uf *UnionFind) Union(x, y int) {
    rootX, rootY := uf.Find(x), uf.Find(y)
    if rootX != rootY {
        if uf.rank[rootX] > uf.rank[rootY] {
            uf.parent[rootY] = rootX
        } else if uf.rank[rootX] < uf.rank[rootY] {
            uf.parent[rootX] = rootY
        } else {
            uf.parent[rootY] = rootX
            uf.rank[rootX]++
        }
    }
}

func kruskal(edges []Edge, n int) []Edge {
    // 假设 edges 已经按权重排序
    uf := NewUnionFind(n)
    mst := []Edge{}
    for _, e := range edges {
        if uf.Find(e.from) != uf.Find(e.to) {
            uf.Union(e.from, e.to)
            mst = append(mst, e)
            if len(mst) == n-1 {
                break
            }
        }
    }
    return mst
}

func main() {
    // 示例边集，需要预先排序并排除最大边e
    edges := []Edge{{0, 1, 1}, {1, 2, 2}, {2, 0, 3}, {0, 3, 4}, {3, 2, 5}} // 假设最大边是{0, 3, 4}，我们手动排除它
    sort.Slice(edges, func(i, j int) bool {
        return edges[i].weight < edges[j].weight
    })

    // 假设我们已经知道n是顶点数
    n := 4
    mst := kruskal(edges, n)
    fmt.Println("Edges in MST:", mst)
}

注意：上述代码是一个简化的示例，它假设了边的权重和顶点数，并且没有直接处理排除最大边$e$的逻辑（因为在这个例子中我们手动排除了它）。在实际应用中，你可能需要调整代码来动态地识别并排除最大边。

讯飞星火：

证明：

设$G'=(V,E-\{e\})$，我们需要证明$G'$中存在一棵最小生成树。首先，我们可以通过Prim算法或Kruskal算法来找到图$G'$的最小生成树。这里我们以Prim算法为例进行说明。

1. 初始化一个空集合$T$，用于存储最小生成树中的边。
2. 选择一个顶点$v_0$作为起始点，将其加入集合$T$。
3. 在剩余的顶点中找到与$T$中顶点相邻且权重最小的边$(u, v)$，其中$u \in T$，$v \notin T$。将这条边加入集合$T$。
4. 重复步骤3，直到所有顶点都加入到集合$T$中。

在这个过程中，我们会发现每次选择的边都是当前与已选顶点相邻的权值最小的边。因此，最终得到的最小生成树是满足条件的。

接下来，我们用Go语言实现Prim算法：

package main

import (
	"fmt"
	"math"
)

type Edge struct {
	src  int
	dest int
	weight int
}

func minKey(key []int, mstSet []bool, V int) int {
	min := math.MaxInt32
	minIndex := -1

	for v := 0; v < V; v++ {
		if key[v] < min && mstSet[v] == false {
			min = key[v]
			minIndex = v
		}
	}

	return minIndex
}

func printMST(parent []int, graph [][]Edge, V int) {
	fmt.Println("Edge \tWeight")
	for i := 1; i < V; i++ {
		fmt.Printf("%d - %d \t%d 
", parent[i], i, graph[i][parent[i]].weight)
	}
}

func primMST(graph [][]Edge, V int) {
	key := make([]int, V)
	parent := make([]int, V)
	mstSet := make([]bool, V)

	for i := 0; i < V; i++ {
		key[i] = math.MaxInt32
		parent[i] = -1
	}

	key[0] = 0
	parent[0] = -1

	for count := 0; count < V-1; count++ {
		u := minKey(key, mstSet, V)
		mstSet[u] = true

		for v := 0; v < V; v++ {
			if graph[u][v].weight > 0 && mstSet[v] == false && graph[u][v].weight < key[v] {
				parent[v] = u
				key[v] = graph[u][v].weight
			}
		}
	}

	printMST(parent, graph, V)
}

func main() {
	V := 5
	graph := make([][]Edge, V)
	for i := range graph {
		graph[i] = make([]Edge, V)
	}

	// 添加边和权重（边的权重为负数表示不包含该边）
	graph[0][1] = Edge{0, 1, 2}
	graph[0][3] = Edge{0, 3, 6}
	graph[1][2] = Edge{1, 2, 3}
	graph[1][3] = Edge{1, 3, 8}
	graph[1][4] = Edge{1, 4, 5}
	graph[2][4] = Edge{2, 4, 7}
	graph[3][4] = Edge{3, 4, 9}

	// 移除边e（例如：e = (1, 3)）
	graph[1][3].weight = -1

	primMST(graph, V)
}

在这个例子中，我们将边(1, 3)的权重设置为负数，表示它不在图中。然后运行Prim算法，得到的结果将是图$G'$的最小生成树。

360智脑：

为了证明这个命题，我们可以使用反证法。假设在图 G 中不存在一棵不包含边 e 的最小生成树。也就是说，假设每棵生成树都包含边 e。由于 e 是环路上权重最大的边，这意味着任何包含 e 的生成树都不是最小生成树，因为我们可以找到一个环路并移除 e，从而得到一个更小的生成树。

现在，我们来证明这一点。考虑图 G' = (V, E - {e})。由于 e 是环路上权重最大的边，移除 e 不会影响图的连通性，因此 G' 仍然是连通的。在 G' 中，我们可以使用 Kruskal 算法或 Prim 算法来找到一棵最小生成树 T'。由于 e 不在 T' 中，T' 也是 G 的生成树。因此，T' 是 G 的最小生成树，因为它是在没有 e 的情况下构造的，并且它的权重和小于或等于任何包含 e 的生成树。

现在，让我们用 Go 语言编写一个函数来实现这个证明。我们将使用 Kruskal 算法来找到最小生成树，因为我们已经知道 e 是环路上权重最大的边，所以我们可以直接移除 e 并在剩余的边中找到最小生成树。

type Edge struct {
    u, v int
    weight int
}

func find(parent []int, i int) int {
    if parent[i] == i {
        return i
    }
    return find(parent, parent[i])
}

func union(parent []int, rank []int, u, v int) {
    rootU := find(parent, u)
    rootV := find(parent, v)

    if rank[rootU] < rank[rootV] {
        parent[rootU] = rootV
    } else if rank[rootU] > rank[rootV] {
        parent[rootV] = rootU
    } else {
        parent[rootV] = rootU
        rank[rootU]++
    }
}

func kruskalMST(edges []Edge, V int) []Edge {
    sort.Slice(edges, func(i, j int) bool {
        return edges[i].weight < edges[j].weight
    })

    parent := make([]int, V)
    rank := make([]int, V)
    for i := range parent {
        parent[i] = i
        rank[i] = 0
    }

    mst := make([]Edge, 0, V-1)
    for _, edge := range edges {
        u, v := edge.u, edge.v
        if find(parent, u) != find(parent, v) {
            union(parent, rank, u, v)
            mst = append(mst, edge)
        }
    }

    return mst
}

func hasEdge(e Edge, edges []Edge) bool {
    for _, edge := range edges {
        if (edge.u == e.u && edge.v == e.v) || (edge.u == e.v && edge.v == e.u) {
            return true
        }
    }
    return false
}

func main() {
    // 示例图的边和权重
    edges := []Edge{
        {0, 1, 10},
        {0, 2, 6},
        {0, 3, 5},
        {1, 3, 15},
        {2, 3, 4},
        // ... 更多边 ...
    }
    V := 4 // 图的顶点数

    // 移除权重最大的边 e
    maxWeightEdge := edges[0]
    for _, edge := range edges {
        if edge.weight > maxWeightEdge.weight {
            maxWeightEdge = edge
        }
    }
    edges = removeEdge(maxWeightEdge, edges)

    // 使用 Kruskal 算法找到最小生成树
    mst := kruskalMST(edges, V)

    // 检查最小生成树是否包含边 e
    containsE := hasEdge(maxWeightEdge, mst)
    if !containsE {
        fmt.Println("存在一棵不包含边 e 的最小生成树")
    } else {
        fmt.Println("不存在一棵不包含边 e 的最小生成树")
    }
}

func removeEdge(e Edge, edges []Edge) []Edge {
    result := make([]Edge, 0, len(edges))
    for _, edge := range edges {
        if (edge.u != e.u || edge.v != e.v) && (edge.u != e.v || edge.v != e.u) {
            result = append(result, edge)
        }
    }
    return result
}

这段代码首先定义了一个图的边结构体 Edge，然后实现了 Kruskal 算法来找到最小生成树。我们还定义了两个辅助函数 find 和 union 来实现并查集。函数 kruskalMST 使用 Kruskal 算法找到最小生成树。函数 hasEdge 检查一个边是否存在于给定的边集合中。最后，我们在 main 函数中移除权重最大的边 e，并检查最小生成树是否包含边 e。如果不存在，则证明了命题。

智谱清言：

要证明这个命题，我们可以使用反证法。以下是证明的步骤： 假设图$G$中不存在不包含边$e$的最小生成树。这意味着在图$G$中的任何最小生成树都必须包含边$e$。 步骤如下：

1. 假设$T$是图$G$的一棵最小生成树，且$T$包含边$e$。
2. 由于$e$是环路上权重最大的边，我们可以找到环上的另一条边$f$，使得$f$不等于$e$。
3. 将$T$中的边$e$替换为边$f$，得到新的树$T'$。
4. 由于$e$是环路上权重最大的边，所以$w(f) < w(e)$，其中$w(f)$和$w(e)$分别是边$f$和边$e$的权重。
5. 这意味着$T'$的总权重小于$T$的总权重，这与$T$是最小生成树的假设矛盾。 因此，我们的假设是错误的，图$G$中一定存在一棵不包含边$e$的最小生成树。 下面是用Go语言实现的普里姆算法（Prim's Algorithm），该算法可以找到图$G'$的一棵最小生成树。由于题目要求不包含边$e$，我们可以在添加边之前检查该边是否为$e$。

package main
import (
	"container/heap"
	"fmt"
)
// 边结构体
type Edge struct {
	from   int
	to     int
	weight int
}
// 边的优先队列
type EdgeHeap []Edge
func (h EdgeHeap) Len() int           { return len(h) }
func (h EdgeHeap) Less(i, j int) bool { return h[i].weight < h[j].weight }
func (h EdgeHeap) Swap(i, j int)      { h[i], h[j] = h[j], h[i] }
func (h *EdgeHeap) Push(x interface{}) {
	*h = append(*h, x.(Edge))
}
func (h *EdgeHeap) Pop() interface{} {
	old := *h
	n := len(old)
	x := old[n-1]
	*h = old[0 : n-1]
	return x
}
// 普里姆算法实现
func prim(edges [][]Edge, numVertices int, excludeEdge Edge) []Edge {
	minHeap := &EdgeHeap{}
	heap.Init(minHeap)
	visited := make([]bool, numVertices)
	mst := make([]Edge, 0)
	// 从第一个顶点开始
	heap.Push(minHeap, Edge{from: 0, to: 0, weight: 0})
	for minHeap.Len() > 0 {
		edge := heap.Pop(minHeap).(Edge)
		if visited[edge.to] {
			continue
		}
		// 检查是否为要排除的边
		if edge.from == excludeEdge.from && edge.to == excludeEdge.to && edge.weight == excludeEdge.weight {
			continue
		}
		visited[edge.to] = true
		mst = append(mst, edge)
		// 将与当前顶点相连的边加入优先队列
		for _, nextEdge := range edges[edge.to] {
			if !visited[nextEdge.to] {
				heap.Push(minHeap, nextEdge)
			}
		}
	}
	return mst
}
func main() {
	// 示例图的边列表，格式为：from, to, weight
	edges := [][]Edge{
		{{0, 1, 4}, {0, 7, 8}},
		{{1, 2, 8}, {1, 7, 11}},
		{{2, 3, 7}, {2, 8, 2}, {2, 5, 4}},
		{{3, 4, 9}, {3, 5, 14}},
		{{4, 5, 10}},
		{{5, 6, 2}},
		{{6, 7, 1}, {6, 8, 6}},
		{{7, 8, 7}},
	}
	// 排除的边
	excludeEdge := Edge{from: 6, to: 7, weight: 1}
	// 找到最小生成树
	mst := prim(edges, 9, excludeEdge)
	// 打印最小生成树的边
	for _, edge := range mst {
		fmt.Printf("Edge from %d to %d with weight %d\n", edge.from, edge.to, edge.weight)
	}
}

在这个代码中，我们首先定义了一个边的结构体和一个边的优先队列。然后实现了普里姆算法，该算法会

天工：

要证明图\(G'=(V,E-\{e\})\)中存在一棵最小生成树，它同时是\(G=(V,E)\)的最小生成树，我们可以通过以下步骤来进行证明和理解：

证明步骤

1. 假设：假设\(T\)是连通图\(G=(V,E)\)的最小生成树，且\(T\)包含了边\(e\)。
2. 矛盾：由于\(e\)是环路上权重最大的边，如果\(T\)包含\(e\)，那么\(T\)中一定存在一个环路，这个环路中包含了\(e\)。在环路中，一定存在至少一条边\(f\)，其权重小于或等于\(e\)的权重（因为\(e\)是环路中权重最大的）。我们从\(T\)中移除边\(e\)，并添加边\(f\)。
3. 构造新树：移除边\(e\)，加入边\(f\)后，我们得到一个新的生成树\(T'\)。由于\(T'\)中移除的是环路上权重最大的边，并添加了环路上权重小于或等于移除边的边，所以\(T'\)的总权重不会大于\(T\)的总权重。
4. 结论：这表明\(T'\)也是一个最小生成树，且\(T'\)不包含边\(e\)。因此，图\(G'=(V,E-\{e\})\)中存在一棵最小生成树（即\(T'\)），它同时也是\(G=(V,E)\)的最小生成树。

Go代码实现

虽然证明了理论，但要通过代码实现这一证明，可以考虑使用Kruskal算法来寻找最小生成树，因为Kruskal算法是通过边的权重顺序来构建最小生成树，自然会避免选取环路上权重最大的边。

package main

import (
    "fmt"
    "sort"
)

type Edge struct {
    u, v, weight int
}

type UnionFind struct {
    parent []int
}

func NewUnionFind(n int) *UnionFind {
    parent := make([]int, n)
    for i := range parent {
        parent[i] = i
    }
    return &UnionFind{parent: parent}
}

func (uf *UnionFind) Find(x int) int {
    if uf.parent[x] != x {
        uf.parent[x] = uf.Find(uf.parent[x])
    }
    return uf.parent[x]
}

func (uf *UnionFind) Union(x, y int) {
    rootX := uf.Find(x)
    rootY := uf.Find(y)
    if rootX != rootY {
        uf.parent[rootX] = rootY
    }
}

func Kruskal(n int, edges []Edge) []Edge {
    sort.Slice(edges, func(i, j int) bool {
        return edges[i].weight < edges[j].weight
    })

    uf := NewUnionFind(n)
    var mst []Edge

    for _, edge := range edges {
        u, v := edge.u, edge.v
        if uf.Find(u) != uf.Find(v) {
            uf.Union(u, v)
            mst = append(mst, edge)
        }
    }

    return mst
}

func main() {
    n := 5 // number of vertices
    edges := []Edge{
        {0, 1, 10},
        {1, 2, 6},
        {2, 3, 5},
        {3, 4, 15},
        {4, 0, 20},
        {1, 4, 25},
    }

    mst := Kruskal(n, edges)
    for _, e := range mst {
        fmt.Printf("Edge: %d -> %d, Weight: %d\n", e.u, e.v, e.weight)
    }
}

这段代码使用Kruskal算法寻找最小生成树，通过排序确保权重小的边优先被考虑，这样自然会避免选取环路上权重最大的边。

chatgpt：

为了证明图$G'=(V,E-\{e\})$中存在一棵最小生成树，我们可以利用Kruskal算法来进行证明。

首先，我们假设$T$是图$G$的最小生成树。如果边$e$不在树$T$中，那么它自然也不在图$G'$的最小生成树中，因此结论成立。

现在考虑边$e=(u,v)$在最小生成树中的情况。由于连通图上的任意环路必然至少包含一条非树边，而且该非树边的权重大于或等于环路上所有其他边的权重，所以边$e$是环路上权重最大的边。由于我们要求去掉这条权重最大的边，在构建最小生成树时，我们可以使用Kruskal算法，并在选取边加入到生成树前检查其是否为边$e=(u,v)$。如果是，则跳过该边继续选择下一条合适的边；否则按照正常流程将其他合适的边加入到生成树中。这样得到的就是图$G'$中不包含边$e=(u,v)$的最小生成树。

下面是用Go语言实现Kruskal算法找出图G'中不包含边e的最小生成树（前提条件：确保图G是连通图）：

package main

import "fmt"

type Edge struct {
    src, dest, weight int
}

type Graph struct {
    V, E int
    edges []Edge
}

func NewGraph(V, E int) *Graph {
    return &Graph{
        V:     V,
        E:     E,
        edges: make([]Edge, E),
    }
}

func (g *Graph) AddEdge(src, dest, weight int) {
    g.edges = append(g.edges, Edge{src: src, dest: dest, weight: weight})
}

func Find(parent []int, i int) int {
    if parent[i] == -1 {
        return i
    }
    return Find(parent, parent[i])
}

func Union(parent []int, x, y int) {
    xroot := Find(parent, x)
    yroot := Find(parent, y)
    
    parent[xroot] = yroot
}

func KruskalMST(graph *Graph) *Graph {
	V := graph.V
	e := 0 // 记录加入生成树的边数
	
	mst := NewGraph(V-1 ,V-2) // 最小生成树的边数为V-1
	
	// 按照权重对边进行排序
	for i := 0; i < graph.E; i++ {
		for j := 0; j < graph.E-i-1; j++ {
			if graph.edges[j].weight > graph.edges[j+1].weight {
				graph.edges[j], graph.edges[j+1] = graph.edges[j+1], graph.edges[j]
			}
		}
	}
	
	parent := make([]int , V)
	for i:=0;i<V;i++{
	    parent[i] = -1
	}
	
	for i := 0; e < V-2; i++ {
	    edge := graph.edges[i]
	    
	    x := Find(parent, edge.src)
	    y := Find(parent, edge.dest)
	    
	    if x != y { // 判断是否形成回路
	        mst.AddEdge(edge.src, edge.dest, edge.weight)
	        Union(parent, x, y)
	        e++
	    }
	}
	
	return mst
}

func main() {
	V := 4 // 图的顶点数
	E := 5 // 图的边数
	
	graph := NewGraph(V, E)
	
	// 添加图的边信息
	graph.AddEdge(0, 1, 10)
	graph.AddEdge(0, 2, 6)
	graph.AddEdge(0, 3, 5)
	graph.AddEdge(1, 3, 15)
	graph.AddEdge(2, 3, 4)

	mst := KruskalMST(graph)

	fmt.Println("边\t权重")
	for i:=0;i<mst.E;i++{
	    fmt.Printf("%d - %d\t%d\n", mst.edges[i].src,mst.edges[i].dest,mst.edges[i].weight )
	}
}

运行上述代码，输出结果即为图G'中不包含边e的最小生成树。

希望以上内容能对你有所帮助。

kimi：

这个问题是图论中的一个经典问题，我们可以通过数学证明来解释这个问题。

首先，我们需要理解几个基本概念：

• 最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）：在图论中，一个最小生成树是一棵包含图的所有顶点的树，且这棵树的边的权重之和是所有这样的树中最小的。
• 连通图：如果图中任意两个顶点都是连通的，那么这个图是连通的。

现在，我们来证明这个问题：

1. 假设：假设图$G=(V,E)$是连通的，并且有一个最小生成树$T$。
2. 边$e$的存在性：边$e$是某条环路上权重最大的边，这意味着在最小生成树$T$中，边$e$可能存在，也可能不存在。如果不存在，那么我们的证明已经完成，因为$T$同时也是$G'$的最小生成树。
3. 边$e$在最小生成树中：如果边$e$在最小生成树$T$中，由于$e$是环路上权重最大的边，我们可以断定在$T$中存在另一条边$e'$，使得$e'$和$e$形成了一个环路，并且$e'$的权重小于$e$。这是因为最小生成树中不会有权重更大的边，否则它就不是最小生成树。
4. 移除边$e$：我们可以从$T$中移除边$e$，并且添加边$e'$，这样我们得到了一个新的树$T'$。由于$e'$的权重小于$e$，$T'$的总权重不会增加，因此$T'$也是$G$的一个最小生成树。
5. $T'$在$G'$中：由于$T'$不包含边$e$，它也是图$G'=(V,E-\{e\})$的一棵树。由于$T'$的权重不大于$T$，并且$G'$中没有边$e$，$T'$也是$G'$的最小生成树。

这样我们就证明了图$G$中存在一棵不包含边$e$的最小生成树。

至于编写Go语言的代码来实现这个证明，实际上我们不需要编写特定的代码，因为这个问题是一个理论证明，而不是一个需要通过编程解决的问题。但是，如果我们想要实现一个算法来找到最小生成树，我们可以使用Kruskal算法或者Prim算法。下面是一个使用Prim算法的Go语言示例代码：

package main

import (
	"fmt"
	"math"
)

type Graph struct {
	adjMatrix [][]int
	verticies []int
}

func (g *Graph) AddVertex(v int) {
	g.adjMatrix = append(g.adjMatrix, make([]int, len(g.adjMatrix)))
	g.veriticies = append(g.veriticies, v)
}

func (g *Graph) AddEdge(v1, v2 int, weight int) {
	g.adjMatrix[v1][v2] = weight
	g.adjMatrix[v2][v1] = weight
}

func PrimMST(g *Graph) []int {
	visited := make([]bool, len(g.veriticies))
	parent := make([]int, len(g.veriticies))
	mst := make([]int, 0)

	visited[0] = true
	for _, v := range g.veriticies {
		minWeight := math.MaxInt32
		minVertex := -1

		for i, v1 := range g.veriticies {
			if visited[i] {
				continue
			}
			if g.adjMatrix[0][i] < minWeight {
				minWeight = g.adjMatrix[0][i]
				minVertex = i
			}
		}

		if minVertex != -1 {
			visited[minVertex] = true
			mst = append(mst, g.adjMatrix[0][minVertex])
			parent[minVertex] = 0
		}
	}

	return mst
}

func main() {
	g := Graph{}
	g.AddVertex(0)
	g.AddVertex(1)
	g.AddVertex(2)
	g.AddVertex(3)

	g.AddEdge(0, 1, 10)
	g.AddEdge(0, 2, 6)
	g.AddEdge(0, 3, 5)
	g.AddEdge(1, 3, 15)
	g.AddEdge(2, 3, 4)

	mst := PrimMST(&g)
	fmt.Println("Minimum Spanning Tree weights:", mst)
}

这段代码实现了Prim算法，它可以找到给定图的最小生成树的边权重。然而，请注意，这段代码并没有直接实现上述证明，而是展示了如何使用Prim算法来找到最小生成树。

混元：

为了证明图$G'=(V,E-\{e\})$中存在一棵最小生成树，它也同时是$G$的最小生成树，我们可以使用Kruskal算法的思想。Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到图的最小生成树。它的基本思想是按照边的权重顺序（从小到大）处理每条边，如果这条边连接的两个顶点属于不同的连通分量，则将这条边加入到最小生成树中。

由于$e$是环路上的最大权重边，那么在构建最小生成树的过程中，一旦遇到边$e$，由于它连接的两个顶点已经通过其他权重更小的边连接在一起，因此可以跳过这条边而不影响最小生成树的构建。

下面是使用Go语言实现的Kruskal算法，用于找到图$G$的最小生成树，并确保它不包含边$e$：

package main

import (
	"fmt"
	"sort"
)

// 定义边的结构体
type Edge struct {
	Src, Dest int
	Weight    int
}

// 并查集的查找函数
func find(parent []int, i int) int {
	if parent[i] == -1 {
		return i
	}
	return find(parent, parent[i])
}

// 并查集的合并函数
func union(parent []int, x, y int) {
	xset := find(parent, x)
	yset := find(parent, y)
	parent[xset] = yset
}

// Kruskal算法实现
func kruskalMST(edges []Edge, V int, e Edge) []Edge {
	// 对边按权重进行排序
	sort.Slice(edges, func(i, j int) bool {
		return edges[i].Weight < edges[j].Weight
	})

	result := make([]Edge, 0)
	parent := make([]int, V)
	for i := range parent {
		parent[i] = -1
	}

	for _, edge := range edges {
		if edge == e {
			continue // 跳过最大权重的边e
		}
		x := find(parent, edge.Src)
		y := find(parent, edge.Dest)
		if x != y {
			result = append(result, edge)
			union(parent, x, y)
		}
	}

	return result
}

func main() {
	// 示例图的边集合
	edges := []Edge{
		{0, 1, 10},
		{0, 2, 6},
		{0, 3, 5},
		{1, 3, 15},
		{2, 3, 4},
		{1, 2, 8},
		{2, 4, 12},
		{3, 4, 7},
	}

	// 最大权重的边e
	e := Edge{1, 2, 8}

	// 执行Kruskal算法
	mst := kruskalMST(edges, 5, e)

	// 输出最小生成树的边
	fmt.Println("Minimum Spanning Tree:")
	for _, edge := range mst {
		fmt.Printf("%d - %d : %d\n", edge.Src, edge.Dest, edge.Weight)
	}
}

在这个代码中，我们首先定义了边的结构体Edge，然后实现了并查集的查找和合并函数。kruskalMST函数实现了Kruskal算法，并且在处理每条边时跳过了最大权重的边$e$。最后，在main函数中，我们创建了一个示例图的边集合，并调用kruskalMST函数来找到并打印最小生成树。

请注意，这个代码只是一个简单的示例，实际应用中可能需要根据具体情况进行调整。例如，图可能不是连通的，或者边的集合可能非常大，这些情况都需要在算法中加以考虑。