扩展欧几里得的理解与应用

例题：​​NOIP2012同余方程​​​ 题目要求关于$x$的同余方程$ax\equiv1(\mod b)$的最小正整数解

题目中的$ax\equiv1(\mod b)$等价于$ax+by=1$
只不过这里的$y$一般为负数
根据裴蜀定理，$ax+by=m$有整数解的充要条件是$m\%gcd(a,b)=0$
这里的$m$为$1$，所以$gcd(a,b)$也只能为$1$，即$a,b$互质
扩展欧几里得求的东西是$ax+by=gcd(a,b)$的整数解
所以放到这里正好适用，因为$gcd(a,b)$就是$1$
由辗转相除法可知$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
假设我们现在有一组解$x2,y2$满足$bx_2+(a\%b)y_2=gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)$
由模法的定义可知$a\%b=a-b\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor$
所以上式可以化为$bx_2+(a-b\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor)y_2=ay_2+b(x_2-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y_2)=gcd(a,b)=ax+by$
所以$x=y_2$，$y=x_2-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y_2$
这里的$x_2,y_2$还需要一个$x_3,y_3$来求得
这样一直递归下去，$a$变成$b$，$b$变成$a\%b$
$b$总会为$0$，$b$为$0$时，$ax+by=gcd(a,b)$就可以写成$ax=a$
很明显这里的$x=1$，需要回溯进上一层递归，$y$取任意值都可，一般回溯$0$

NOIP2012同余方程代码，这里的exgcd是简化之后的：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
  if (!b) {x = 1; y = 0; return;}
  exgcd(b, a % b, y, x); y -= (a / b) * x;
}

int main(int argc, char const *argv[]) {
  ll a, b, x, y; cin >> a >> b;
  exgcd(a, b, x, y); cout << (x + b) % b << endl;
}