求两字符序列的最长公共字符子序列
 
    字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。   
    考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，
    设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bn-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。
    不难证明有以下性质：
(1).如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
(2).如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
(3).如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
    在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
   
求解：
    引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
    我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
递归式：
    最长公共子序列问题_职场
回溯输出最长公共子序列过程：
    最长公共子序列问题_职场_02
算法分析：
    由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。
代码：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 100

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
        int i, j;
        
        for(i = 0; i <= m; i++)
                c[i][0] = 0;
        for(j = 1; j <= n; j++)
                c[0][j] = 0;
        for(i = 1; i<= m; i++)
        {
                for(j = 1; j <= n; j++)
                {
                        if(x[i-1] == y[j-1])
                        {
                                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                                b[i][j] = 0;
                        }
                        else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
                        {
                                c[i][j] = c[i-1][j];
                                b[i][j] = 1;
                        }
                        else
                        {
                                c[i][j] = c[i][j-1];
                                b[i][j] = -1;
                        }
                }
        }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j)
{
        if(i == 0 || j == 0)
                return;
        if(b[i][j] == 0) 
        {
                PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
                printf("%c ", x[i-1]);
        }
        else if(b[i][j] == 1)
                PrintLCS(b, x, i-1, j);
        else
                PrintLCS(b, x, i, j-1);
}

int main(int argc, char **argv)
{
        char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"};
        char y[MAXLEN] = {"BDCABA"};
        int b[MAXLEN][MAXLEN];
        int c[MAXLEN][MAXLEN];
        int m, n;
        
        m = strlen(x);
        n = strlen(y);
        
        LCSLength(x, y, m, n, c, b);
        PrintLCS(b, x, m, n);
        
        return 0;
}