01背包(dp)

问题描述：

有n 个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

解决这个题有两种方法，和其它的动态规划问题一样

数组w[]为物品的重量，v[]为物品的价值

一种是递归的思想，从后向前考虑，背包决定是否放一个物品是根据两个值的大小判断（一个值是背包没有放入这个物品的价值，另一个值是背包放入这个物品，另外背包容量减少物品重量的价值），去两个值中的最大值，递归结束条件是物品放完或者是背包容量小于等于0。

dp

接下来就是动态规划的思想，动态规划是从前往后想

求这个背包问题首先要画一个表

横轴是容量，纵轴是物品id

求解问题的过程就是维护这个表的过程，求解的值，就是最后一个空格的值

首先对于第0号物品

容量为0时，由于自身重量为1，所以放不进去，所以空格填0，容量为1以后，该物品可以放进去了，就都为6

对于第1号物品

对于（2,1）这个位置，由于背包容量是2，所以我可以放1号物品，将0号物品拿出来，或者不放1号物品，判断两种情况下的最大值，是第一种情况。

对于（3,1）这个位置，背包容量为3，可以1,0两个物品都放，或者保持（2,1），结果两个都放是最大值。

对于第2号物品

（3,2）这个位置是（0,1）+2号物品的价值和（3,1）比大小，结果是（3,1）比较大，所以还是16

（4,2）这个位置是（1,1）+2号物品的价值和（4,1）比大小，结果是（1,1）+12大，所以为18

（5,2）这个位置是（2,1）+2号物品的价值和（5,1）比大小，结果是（2,1）+12大，所以为22

所以最后背包的最大值为22

package action;

public class demo {
  public static void main(String[] args) {
    int size = 5;
    int[] w = { 1, 2, 3 };
    int[] v = { 6, 10, 12 };
    System.out.println(backpack(w, v, size));
  }

  public static int backpack(int[] w, int[] v, int size) {
    if (w.length != v.length)
      return -1;

    int n = w.length;
    if (n == 0)
      return 0;
    int[][] memo1 = new int[n][size + 1];

    for (int i = 0; i <= size; i++) {
      memo1[0][i] = (i >= w[0] ? v[0] : 0);
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      for (int j = 0; j <= size; j++) {
        memo1[i][j] = memo1[i - 1][j];
        if (j >= w[i]) {
          memo1[i][j] = Math.max(memo1[i][j], v[i] + memo1[i - 1][j - w[i]]);
        }
      }
    }
    return memo1[n - 1][size];
  }
}