808. 分汤 : 挺有意思的 DP 题

题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​808. 分汤​​ ，难度为 中等。

Tag : 「数学」、「动态规划」、「线性 DP」

有 ​​A​​​ 和 ​​B​​​ 两种类型 的汤。一开始每种类型的汤有 ​​n​​ 毫升。有四种分配操作：

1. 提供 ​​100ml​​​ 的 汤A 和 ​​0ml​​ 的 汤B 。
2. 提供 ​​75ml​​​ 的 汤A 和 ​​25ml​​ 的 汤B 。
3. 提供 ​​50ml​​​ 的 汤A 和 ​​50ml​​ 的 汤B 。
4. 提供 ​​25ml​​​ 的 汤A 和 ​​75ml​​ 的 汤B 。

当我们把汤分配给某人之后，汤就没有了。每个回合，我们将从四种概率同为 ​​0.25​​ 的操作中进行分配选择。如果汤的剩余量不足以完成某次操作，我们将尽可能分配。当两种类型的汤都分配完时，停止操作。

注意 不存在先分配 ​​100 ml​​ 汤B 的操作。

需要返回的值： 汤A 先分配完的概率 +  汤A和汤B 同时分配完的概率 / 2。返回值在正确答案 $10^{-5}$

示例 1:

输入: n = 50

输出: 0.62500

解释:如果我们选择前两个操作，A 首先将变为空。
对于第三个操作，A 和 B 会同时变为空。
对于第四个操作，B 首先将变为空。
所以 A 变为空的总概率加上 A 和 B 同时变为空的概率的一半是 0.25 *(1 + 1 + 0.5 + 0)= 0.625。

示例 2:

输入: n = 100

输出: 0.71875

提示:

• $0 <= n <= 10^9$

数学 + 动态规划

四种分配方式都是 $25$ 的倍数，因此我们可以将 $n$ 进行除以 $25$

1. 提供 ​​4ml​​​ 的 汤A 和 ​​0ml​​ 的 汤B 。
2. 提供 ​​3ml​​​ 的 汤A 和 ​​1ml​​ 的 汤B 。
3. 提供 ​​2ml​​​ 的 汤A 和 ​​2ml​​ 的 汤B 。
4. 提供 ​​1ml​​​ 的 汤A 和 ​​3ml​​ 的 汤B 。

定义 $f[i][j]$ 为 汤A 剩余 $i$ 毫升，汤B 剩余 $j$ 毫升时的最终概率（$概率 = 汤A先分配完的概率 + 汤A和汤B同时分配完的概率 \times 0.5$）。

最终答案为 $f[n][n]$ 为最终答案，考虑任意项存在为 $0$

• 若 $i = 0$ 且 $j = 0$，结果为 $0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，即有 $f[0][0] = 0.5$
• 若 $i = 0$ 且 $j > 0$，结果为 $1 + 0 = 1$，即有 $f[0][X] = 1$，其中 $X > 1$
• 若 $i > 0$ 且 $j = 0$，结果为 $0 + 0 = 0$，即有 $f[X][0] = 0$，其中 $X > 1$

其余一般情况为 $i$ 和 $j$ 均不为 $0$，由于四类操作均为等概率，结合题意和状态定义可知：

$f[i][j] = \frac{1}{4} \times (f[i - 4][j] + f[i - 3][j - 1] + f[i - 2][j - 2] + f[i - 1][j - 3])$

由于 $n = 1e9$，即使进行了除 $25$ 的缩放操作，过多的状态数仍会导致 ​​​TLE​​。

此时需要利用「返回值在正确答案 $10^{-5}$ 的范围内将被认为是正确的」来做优化（一下子不太好想到）：由于四类操作均是等概率，单个回合期望消耗汤 A 的量为 $2.5$，消耗汤 B 的量为 $1.5$。

因此当 $n$ 足够大，操作回合足够多，汤 A 将有较大的概率结束分配，即当 $n$ 足够大，概率值会趋向于 $1$。

我们考虑多大的 $n$ 能够配合精度误差 $10^{-5}$ 来减少计算量：一个可行的操作是利用上述的 DP 思路 + 二分的方式找到符合精度要求的验算值（不超过 $200$）。

Java 代码：

class Solution {
    public double soupServings(int n) {
        n = Math.min(200, (int) Math.ceil(n / 25.0));
        double[][] f = new double[n + 10][n + 10];
        f[0][0] = 0.5;
        for (int j = 1; j <= n; j++) f[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                double a = f[Math.max(i - 4, 0)][j], b = f[Math.max(i - 3, 0)][Math.max(j - 1, 0)];
                double c = f[Math.max(i - 2, 0)][Math.max(j - 2, 0)], d = f[Math.max(i - 1, 0)][Math.max(j - 3, 0)];
                f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d);
            }
        }
        return f[n][n];
    }
}

Python 代码：

class Solution:
    def soupServings(self, n: int) -> float:
        n = min(200, math.ceil(n / 25))
        f = [[0] * (n + 10) for _ in range(n + 10)]
        f[0][0] = 0.5
        for j in range(1, n + 10):
            f[0][j] = 1
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                a, b = f[max(i - 4, 0)][j], f[max(i - 3, 0)][max(j - 1, 0)]
                c, d = f[max(i - 2, 0)][max(j - 2, 0)], f[max(i - 1, 0)][max(j - 3, 0)]
                f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d)
        return f[n][n]

• 时间复杂度：$O(m^2)$，其中 $m = 200$
• 空间复杂度：$O(m^2)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.808​​ 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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