775. 全局倒置与局部倒置 :「树状数组」&「数学」

题目描述

Tag : 「树状数组」、「数学」

给你一个长度为 ​​n​​ 的整数数组 ​​nums​​，表示由范围 $[0, n - 1]$

全局倒置 的数目等于满足下述条件不同下标对 $(i, j)$

• $0 <= i < j < n$
• $nums[i] > nums[j]$

局部倒置 的数目等于满足下述条件的下标 i 的数目：

• $0 <= i < n - 1$
• $nums[i] > nums[i + 1]$

当数组 ​​nums​​ 中 全局倒置 的数量等于 局部倒置 的数量时，返回 ​​true​​ ；否则，返回 ​​false​​ 。

示例 1：

输入：nums = [1,0,2]

输出：true

解释：有 1 个全局倒置，和 1 个局部倒置。
复制代码

示例 2：

输入：nums = [1,2,0]

输出：false

解释：有 2 个全局倒置，和 1 个局部倒置。
复制代码

提示：

• $n = nums.length$
• $1 <= n <= 10^5$
• $0 <= nums[i] < n$
• ​​nums​​ 中的所有整数 互不相同
• ​​nums​​ 是范围 $[0, n - 1]$

树状数组

根据题意，对于每个 $nums[i]$

• 其左边比它大的 $nums[j]$ 的个数，是以 $nums[i]$ 为右端点的“全局倒置”数量，统计所有以 $nums[i]$ 为右端点的“全局倒置”数量即是总的“全局倒置”数量 a
• 同时我们可以将每个 $nums[i]$ 与前一个值进行比较，从而统计总的“局部倒置”数量 b，其中 $i$ 的取值范围为 $[1, n - 1)$

一个容易想到的做法是利用「树状数组」，虽然该做法没有利用到核心条件「$nums$ 是一个 $[0, n - 1]$ 的排列」，但根据数据范围 $n$ 可知该复杂度为 $O(n\log{n})$

代码：

class Solution {
    int n;
    int[] tr;
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
    void add(int x) {
        for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i]++;
    }
    int query(int x) {
        int ans = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
        return ans;
    }
    public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
        n = nums.length;
        tr = new int[n + 10];
        add(nums[0] + 1);
        int a = 0, b = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            a += query(n) - query(nums[i] + 1);
            b += nums[i] < nums[i - 1] ? 1 : 0;
            add(nums[i] + 1);
        }
        return a == b;
    }
}
复制代码

• 时间复杂度：$O(n\log{n})$
• 空间复杂度：$O(n)$

数学

解法一中并没有利用到核心条件「$nums$ 是一个 $[0, n - 1]$

提示一：由“局部倒置”组成的集合为由“全局倒置”组成的集合的子集

任意一个“局部倒置”均满足“全局倒置”的定义，因此要判定两者数量是否相同，可转换为统计是否存在「不满足“局部倒置”定义的“全局倒置”」。

提示二：何为不满足“局部倒置”定义的“全局倒置”

结合题意，若存在坐标 $j$ 和 $i$，满足 $nums[j] > nums[i]$ 且 $j + 1 < i$，那么该倒置满足“全局倒置”定义，且不满足“局部倒置”定义。

若存在这样的逆序对，不满足，则有两类倒置数量不同。

提示三：考虑「如何构造」或「如何避免构造」不满足“全局倒置”定义的“局部倒置”

如果我们能够总结出「如何构造」或「如何避免构造」一个不满足“全局倒置”定义的“局部倒置” 所需的条件，问题可以转换为检查 ​​nums​​ 是否满足这样的条件，来得知 ​​nums​​ 是否存在不满足“全局倒置”定义的“局部倒置”。

我们可以结合「$nums$ 是一个 $[0, n - 1]$ 的排列」来分析，若需要避免所有 $nums[j] > nums[i]$ 的逆序对均不满足 $j + 1 < i$，只能是所有逆序对均由相邻数值产生。

代码：

class Solution {
    public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (Math.abs(nums[i] - i) >= 2) return false;
        }
        return true;
    }
}
复制代码

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$