【常见题型总结】二分以及为何能二分（二段性的拓展）

题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​162. 寻找峰值​​ ，难度为 中等。

Tag : 「二分」

峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。

给你一个整数数组 ​​nums​​，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回 任何一个峰值 所在位置即可。

你可以假设 ​​nums[-1] = nums[n] = -∞​​ 。

你必须实现时间复杂度为 $O(\log{n})$

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,1]

输出：2

解释：3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。

示例 2：

输入：nums = [1,2,1,3,5,6,4]

输出：1 或 5

解释：你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2；
     或者返回索引 5， 其峰值元素为 6。

提示：

• $1 <= nums.length <= 1000$
• $-2^{31} <= nums[i] <= 2^{31} - 1$
• 对于所有有效的 ​​i​​​ 都有 ​​nums[i] != nums[i + 1]​​

模拟

由于数据范围只有 $1000$，使用线性扫描找峰值的模拟做法也是没有问题。

代码：

class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            boolean ok = true;
            if (i - 1 >= 0) {
                if (nums[i - 1] >= nums[i]) ok = false;
            }
            if (i + 1 < n) {
                if (nums[i + 1] >= nums[i]) ok = false;
            }
            if (ok) return i;
        }
        return -1;
    }
}

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

二分

题目让我们实现一个 $O(\log{n})$

和往常的题目一样，我们应当从是否具有「二段性」来考虑是否可以进行「二分」。

不难发现，如果 在确保有解的情况下，我们可以根据当前的分割点 $mid$ 与左右元素的大小关系来指导 $l$ 或者 $r$

假设当前分割点 $mid$ 满足关系 $num[mid] > nums[mid + 1]$ 的话，一个很简单的想法是 $num[mid]$ 可能为峰值，而 $nums[mid + 1]$ 必然不为峰值，于是让 $r = mid$，从左半部分继续找峰值。

估计不少同学靠这个思路 AC 了，只能说做法对了，分析没对。

上述做法正确的前提有两个：

1. 对于任意数组而言，一定存在峰值（一定有解）；
2. 二分不会错过峰值。

我们分别证明一下。

证明 $1$

根据题意，我们有「数据长度至少为 $1$」、「越过数组两边看做负无穷」和「相邻元素不相等」的起始条件。

我们可以根据数组长度是否为 $1$

1. 数组长度为 $1$，由于边界看做负无穷，此时峰值为该唯一元素的下标；
2. 数组长度大于 $1$，从最左边的元素 $nums[0]$

• 如果 $nums[0] > nums[1]$，那么最左边元素 $nums[0]$
• 如果 $nums[0] < nums[1]$，由于已经存在明确的 $nums[0]$ 和 $nums[1]$ 大小关系，我们将 $nums[0]$ 看做边界， $nums[1]$ 看做新的最左侧元素，继续往右进行分析：

• 如果在到达数组最右侧前，出现 $nums[i] > nums[i + 1]$，说明存在峰值位置 $i$（当我们考虑到 $nums[i]$，必然满足 $nums[i]$
• 到达数组最右侧，还没出现 $nums[i] > nums[i + 1]$，说明数组严格递增。此时结合右边界可以看做负无穷，可判定 $nums[n - 1]$

综上，我们证明了无论何种情况，数组必然存在峰值。

证明 $2$

其实基于「证明 $1$」，我们很容易就可以推理出「证明 $2$」的正确性。

整理一下由「证明 $1$」得出的推理：如果当前位置大于其左边界或者右边界，那么在当前位置的右边或左边必然存在峰值。

换句话说，对于一个满足 $nums[x] > nums[x - 1]$ 的位置，$x$ 的右边一定存在峰值；或对于一个满足 $nums[x] > nums[x + 1]$ 的位置，$x$

因此这里的「二段性」其实是指：在以 $mid$ 为分割点的数组上，根据 $nums[mid]$ 与 $nums[mid \pm 1]$

如果不理解为什么「证明 $2$」的正确性可以由「证明 $1$」推导而出的话，可以重点看看「证明 $1$」的第 $2$

至此，我们证明了始终选择大于边界一端进行二分，可以确保选择的区间一定存在峰值，并随着二分过程不断逼近峰值位置。

另外，为了照顾还在纠结使用什么“模板”的同学，特意写了两个版本。但其实只要搞清楚我们「二分」什么内容，根本不会存在说用哪种方式才能写过的情况。

代码：

class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (nums[mid] > nums[mid + 1]) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
}

class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        if (n == 1) return 0;
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (nums[mid] > nums[mid - 1]) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        return r;
    }
}

• 时间复杂度：$O(\log{n})$
• 空间复杂度：$O(1)$

总结

通过本题，我们可以对「二分」有进一步的认识。

最早在 ​​33. 搜索旋转排序数组​​ 中，我们强调，二分的本质是「二段性」而非「单调性」，而经过本题，我们进一步发现「二段性」还能继续细分，不仅仅只有满足 $01$ 特性（满足/不满足）的「二段性」可以使用二分，满足 $1?$ 特性（一定满足/不一定满足）也可以二分。

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.162​​ 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。