机器学习算法--概率与凸优化

概率论

• 古典概率 or 统计定义：频率
• 现代概率 or 公理化定义：测度论（科尔莫戈罗夫）

概率空间(Ω，φ，P)：

Ω 样本空间（最小不可分的独立互斥事件集合）；

φ事件（Ω的子集）；

P测度（事件的概率）；

随机变量：随机试验各种结果的实值单值函数

贝叶斯公式：

贝叶斯法则是关于随机事件A和B的条件概率和边缘概率的。

其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。

 

  为完备事件组，即

 

在贝叶斯法则中，每个名词都有约定俗成的名称：

Pr(A)是A的先验概率或边缘概率。之所以称为"先验"是因为它不考虑任何B方面的因素。

Pr(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也由于得自B的取值而被称作A的后验概率。

Pr(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也由于得自A的取值而被称作B的后验概率。

Pr(B)是B的先验概率或边缘概率，也作标准化常量（normalized constant）。

按这些术语，Bayes法则可表述为：

后验概率 = (似然度 * 先验概率)/标准化常量　也就是说，后验概率与先验概率和似然度的乘积成正比。

另外，比例Pr(B|A)/Pr(B)也有时被称作标准似然度（standardised likelihood），Bayes法则可表述为：

后验概率 = 标准似然度 * 先验概率

特征函数：

大数定理：

中心极限定理：

实际应用：

            点估计：

点估计的评判：相合性、无偏性、有效性、渐进正态性

极大似然估计：

凸优化

凸集与凸函数、常见凸函数：

Hessian矩阵半正定！

上镜图：函数图像上方的区域；

凸集合的保凸运算：

任意多个凸集合的交集仍然是凸集合；

凸集合的线性映射仍然是凸集合；

凸函数的保凸运算：