好像在各种机器学习入门教程中，逻辑回归模型（Logistic/Logit Regression）经常被拿来作为入门的机器学习模型，比如我家的Andrew Ng就是这样做的。
看起来，逻辑回归模型实在太简单，甚至容易被认为是一个拍脑袋想出的naïve的模型。今天，小夕就非要把它当做宝贝好好夸一夸，哼哼哼...
流水账一样的看似没毛病而且简单易懂的讲法是这样的：
浅入
怎么将n维向量X=[x1,x2,...,xn]映射成一个点y呢？很容易想到就是将向量X与另一个向量做内积啦。这个向量我们称为参数θ，即θ=[θ1, θ2 ,..., θn]。所以做内积就是X*θ’【即行向量X乘以（行向量θ的转置）】得到一个数。
但是如果X=[0, 0, 0, ..., 0]时，输出y应等于1，那怎么办呢？这时X*θ’肯定也是0 呀。。。所以为了解决这个问题，要再加个常数b，所以现在是X*θ’+b。我们为了看起来好看简洁，在X的最开头加个1，把b扔到θ的最开头，所以就成了新版的X*θ’，当然此时X=[1,X], θ=[b,θ]
好像还不行，因为这时的值域是(-∞,+∞)呀，可是我们要得到的是0或者1，模型给我输出一个100000是怎么回事。。。所以要把值域限制一下啦，将值域正负无穷改为(0, 1)，怎么改呢？出现了下面这个sigmoid函数：
在这个函数的限制下，哪怕输入为正无穷，输出也不会大于1，同样输入为负无穷，输出也不会为小于-1。所以现在模型成了：
sigmoid(X*θ’)。
这时，我们只需要认为当模型输出值大于0.5时，就认为是逻辑1；当输出值小于0.5时，就认为是逻辑0。预测函数（假设函数）完成！即htheta(X)= sigmoid(X*θ’)，有了这个函数，我们就可以给样本贴类别标签啦。
好咯，然后还差什么？当然是训练模型用的损失函数/代价函数/目标函数啦。损失函数是什么呢？
诶？看起来很不错呀，仔细一看也能模模糊糊的看明白，反正当类别预测值与实际类别完全对起来的时候，J(θ)确实等于0的。
所以最后要干嘛呢？当然是得到我们的迭代公式然后梯度下降法啦。一求导就得到了下面的公式
然后坐等J(θ)收敛，从而得到最优模型参数θ了...
上面的讲解看起来没毛病呀~难道每一步真的都是这么恰好的信手拈来的吗？
前方超高能预警！
深出
慢慢来~从回归开始讲起啦。
回归的含义在高中就学过了，不过可能被老师解释的比较naïve（都忘了老师怎么讲的了。。。）。一个抽象而准确的描述是“回归即为两个或多个随机变量之间的相关关系建立数学模型”。设想一下，如果我们仅考虑两个随机变量，并且将其中一个随机变量看作机器学习的输入，也就是特征向量X，将另一个随机变量看作机器学习的输出，也就是类别预测y。那么...回归的意思是...
用一个数学模型直接描绘出X到y的映射关系！
如果还不懂的话，想一想我们之前的朴素贝叶斯模型是怎么用X训练模型求y的？是不是用贝叶斯定理呀~也就是下面这样：
等式左边就是随机变量y，而等式右边并不是直接用X表示的，而是用其他东西间接描述y。
所以！回归就是要直接用X描绘出y！是直接！
当随机变量X与随机变量y呈线性关系时，如果我们要用回归模型来描述这两个随机变量的关系，那么这里的回归模型是什么样子的呢？相信机智的你肯定想到啦，这里就是高中就学过的线性回归模型：y=aX+b。
那么当随机变量X与随机变量y呈。。。逻辑关系时呢？（逻辑不就是0/1嘛），也就是说当随机变量X取某值时，随机变量Y为某一个逻辑值（0或1），那么这里的回归模型是什么样子的呢？相信机智的你肯定想到啦，这里就是大学都没学过的逻辑回归模型：?????=?????
hhhh，小夕太调皮是不是不太好吖~
其实我们仔细想一下，逻辑回归模型是难以像线性回归一样直接写出类似于y=aX+b这么简洁的形式的，因为y的取值为离散的，只有0和1，所以要怎么表示呢？当然是用模型分别表示y取0的概率和y取1的概率了。也就是用模型表示出P(y=1|X)和P(y=0|X)。
其实为某种形式的回归建立数学模型并不是一件容易的事情，经过先烈的曲折探索，得出了一个神奇的公式，称为logit公式：
诶？看似简洁，然而有什么用呢？里面既没有X也没有y呀。。。
先等等，还记得深度学习中经常加在神经网络的顶层来求后验概率P(y=j|X)的softmax函数吗？对就是下面这个熟悉的函数：
对于我们的二分类问题来说，有P(y=0|X)+P(y=1|X)=1，那么如果我们令logit公式中的Q=P(y=0|X)呢？然后P(y=0|X)用softmax函数表示呢？是不是突然被下面推导的过程和结果惊呆了！！！：
而xTΔw的值不就是反映感知机模型的输出嘛！（即xTΔw>0则预测类别为正，xTΔw<0则预测类别为负）
我们再把xTΔw整理的好看一点，变成更正常的形式：w·x+b。然后就可以得到下面的结论！！！：
这就是我们前面苦苦寻找的逻辑回归模型！看，随机变量X与随机变量Y的关系竟然直接纳入了一个模型下面！也就是说后验概率直接用随机变量X表示了出来！而不是像贝叶斯定理一样间接表示后验概率。
有了上面直接表示的后验概率，于是建立似然函数，通过极大似然估计来确定模型的参数。因此设：
似然函数就表示为
对数似然函数即：
也就是本文的“浅入”环节的损失函数啦，原来是正儿八经的一步步推出来的！剩下的就交给梯度下降法优化出模型参数吧！
好咯，小夕只能帮你把逻辑回归模型挖的这么深啦，据说有更深的理解的，然而小夕已经驾驭不了了T_T。
