2820: YY的GCD
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Input
Output
Sample Input
10 10
100 100
Sample Output
2791
HINT
T = 10000
N, M <= 10000000
先推一个：
n m
Σ Σ gcd（x，y）=p
x y
n/p m/p
= Σ Σ Σ gcd（x’，y’）=1
p x' y’
n/p m/p
= Σ Σ Σ e（gcd(x’,y’)）
p x’ y’
n/p m/p
= Σ Σ Σ Σ μ（d）
p x’ y’ d\gcd（x’，y’）
n/pd m/pd
= Σ Σ Σ Σ μ（d）
p d x’’ y’’
n/t m/t
= Σ Σ Σ Σ μ（d） 令p*d=t
t p\t x’’ y’’
= Σ Σ μ（d） floor（n/t） floor（m/t）
t p\t
∴ans=Σ Σ μ（T/p） floor（n/T）floor（m/T）
T p\T
现在是枚举T、P，肯定TLE
所以继续推
令 f（T）=Σ μ（T/p） p为素数
p\T
根据线性筛的思路
当T为素数时 只有p=T，∴f（T）=μ（1）=1
当T不为素数时，
令T=i*prime[j]
对i分解质因数，i=p1^k1*p2^k2*p3^k3……
当i%prime[j]！=0时， f[i]=Σ μ（i/p）=μ（p1^(k1-1）*p2^k*p3^k……）+μ（p1^k1*p2^(k2-1）*p3^k3……）+μ（p1^k1*p2^k2*p3^(k3-1)……）+……
p\i
为了方便表示，令s1=μ（p1^(k1-1）*p2^k*p3^k……） s2=μ（p1^k1*p2^(k2-1）*p3^k3……） s3=μ（p1^k1*p2^k2*p3^(k3-1)……） ……
f[T]=Σ μ（T/p）=μ（s1*prime[j]）+μ（s2*prime[j]）+μ（s3*prime[j]）+……+μ（T/prime[j]）
p\T
= μ(prime[j])*(μ（s1）+μ（s2）+μ（s3）+……)+μ（T/prime[j]）
=μ（prime[j]）*f（i）+μ（i）
=-f（i）+μ（i）
当i%prime[j]==0时，i分解质因数，其中必有一个pi=prime[j]
∴上面f（T）中每一项中，除最后一项外，前面每一项的prime[j]都可以与si中的1个pi合并为一个，即出现了pi^ki ki>=2
∴f（T）除最后一项都=0
看最后一项，μ（T/prime[j]），因为T=i*prime[j]，所以prime[j]约去
所以最优后一项=μ（i）
综上所述，线性筛时，枚举i
当i为素数时 f（i）=1
当i%prime[j]！=0时，f（i*prime[j]）= μ（i）-f（i）
当i%prime[j] =0时, f（i*prime[j]）=μ（i）
为什么这里把T是素数换成了i是素数
因为线性筛的过程，T若是素数，一定可以在某个i时被枚举到
然后i*prime[j]就相当于推导过程中的T
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 10000001
using namespace std;
int t;
long long x,y;
int prime[N],miu[N],cnt,f[N],sum[N];
bool v[N];
void pre()
{
miu[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++)
{
if(!v[i])
{
v[i]=true;
prime[++cnt]=i;
miu[i]=-1;
f[i]=1;
}
for(int j=1;j<=cnt;j++)
{
if(i*prime[j]>N-1) break;
v[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0)
{
miu[i*prime[j]]=0;
f[i*prime[j]]=miu[i];
break;
}
miu[i*prime[j]]=-miu[i];
f[i*prime[j]]=miu[i]-f[i];
}
}
for(int i=1;i<N;i++) sum[i]=sum[i-1]+f[i];
}
void solve()
{
long long k=min(x,y),j,ans=0;
for(long long i=1;i<=k;i=j+1)
{
j=min(x/(x/i),y/(y/i));
ans+=(x/i)*(y/i)*(sum[j]-sum[i-1]);
}
printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
pre();
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%lld%lld",&x,&y);
solve();
}
}
元元真厉害\(^o^)/~
我的智商啊~~~~(>_<)~~~~
