一、如何快速找到PCB中的GND？
在维修电路板时，有时候需要测量板子上某一点的电位，来判断到底是哪里出了问题，而参考点的选取一般都是选择电源的负极，也就是GND地线。如下图是几种GND的符号。
如何快速寻找出板子中的地线，就成了必须要掌握的知识了。下面我总结了几种方法供大家参考一下。
1 通过电解电容来查找GND
上图中是一个电磁炉主板，我们要找地线，首先要找到板子最大的那个电解电容。
一般情况下比较大的电解电容都是作为电源滤波的一种元件，它的负极就是GND了。
上图中你看到的最大的电解电容就是一个电源滤波电容，它是从整流桥整流输出约300伏的脉动直流电，再经过此电容滤波才能输出比较平滑的直流电。它的负极就是直流电源的负极，也就是我们要找的GND地线。
2 通过查看大片铜箔来确认GND
上图中是一个两层板，图中标有红圈的那几个点就是地线，可以看出它和大片的铜箔相连。这是由于地线有屏蔽作用，可以有效减小地线环路带来的干扰，所以线路板中的地线铜箔一般都是成片出现的。
3 通过查看连接插件上的标识来确认GND
如上图，一般在板子的接插件处都有各种信号的标识，我们可以通过查看这个标识来确认地线，比如上图红线圈内的GND就是地线了。
4 通过集成芯片来查找
在线路板中通常有着各种各样的集成电路，这些集成电路如果要正常工作都需要有供电电源，可以通过查看芯片的引脚来确认GND。
如上图，这是一个8脚的LM358比较器，通过查找它的资料可以看出它每个脚的功能 ，只要知道第四脚为GND就可以在板子上找到地线了。
二、初识微分、积分电路的本质以及电容的阴谋
很多朋友觉得PID是遥不可及，很神秘，很高大上的一种控制，对其控制原理也很模糊，只知晓概念性的层面，知其然不知其所以然，那么本期从另类视角来探究微分、积分电路的本质，意在帮助理解PID的控制原理。
PID：P表示比例控制；I表示积分控制；D表示微分控制
在认清微分、积分电路之前，我们都知道电容的特性：电容的电流超前电压相位90°，很多教材都这么描述，让人很费解，其本质又是什么呢？
❤要彻底掌握微分、积分电路或PID控制思路，首先得了解电容。
❤电容就是装载电荷的容器，从微观角度看，当电荷流入容器时，随着时间的变化极间电场逐渐增大；以图1为例：
①充电开始时Uc=0V，压差△U=Ur=Ui，此刻容器内无电荷，也就无电场排斥流入的电荷；所以电流Ic最大，表现为容抗最小，近似短路；
②当Uc上升，压差△U开始减小，该过程形成电场，容器开始排斥流入的电荷；电流Ic逐渐减小，表现为容抗逐渐增大；
③当Uc=Ui，压差△U=Ur=0V，此刻容器内电场最强，以最大排斥力阻止流入的电荷；电流Ic=0，表现为容抗最大，近似开路。
图1：电容容器充电模型
❤当电荷流出容器时，随着时间的变化极间电场逐渐减小；该放电过程的电容可看成是一个内阻为0的电压源，以图2为例（移除电源并接地）：
①放电开始时Uc=Ui，此刻容器内充满电荷，因此电场最强，而电阻不变，则放电电流Ic最大（方向与充电相反），电阻两端的电压Ur=Uc，则Ur=Ui；
②当Uc下降，该过程电场减弱，放电电流Ic逐渐减小，Ur=Uc也逐渐减小；
③放电耗尽Uc=0V，此刻容器内无电荷，因此无电场，Ur=0V。
图2：电容容器放电模型
❤电容就好比水桶一样，流入的水流无论是大还是小，水位的变化一定是从最低位开始连续上升的；而电容内的电荷也是逐渐从0开始积累起来的，积累过程与自然常数e有关系，这里就不深入讨论了。
图3就是电容充放电的电压-电流曲线。
图3：电容充放电，电压-电流曲线
❤联系前面的分析，可总结为：
①电容电压不能突变，电流可突变（教材的定义是电容的电流与电压的变化率成正比）；
②充电过程中的电容可等效成一个可变电阻，放电过程中的电容可等效成一个电压源；
③电容电流反映的是单位时间内流动的电荷量，电容电压（或电场）反映的是电荷量的多少。通俗的理解就是流动的电荷才会导致电荷量多少的变化（与①相吻合）；用数学语言描述则是电容的电流超前电压相位90°；
④电容充放电速度与电容和电阻大小有关。
对电容充分了解之后，首先我们先来认识最简单的分压电路，如图4根据欧姆定律VCC=2.5V，该纯阻性的分压电路就是比例运算电路的雏形。
图4：分压电路
❤如图5，我们把R2换成104（0.1μF）电容，C1电容充满电后近似开路，VCC=5V；该电路就是积分运算电路的雏形。那么把5V改成信号源就构成了低通滤波电路。
图5：积分电路
❤如图6为上图的充电波形，红色表示5V的波形，蓝色表示VCC的波形，因为电容充电时的容抗由小变大直至开路，所以分压VCC也由小变大直至为5V。而且电容充电需要一定的时间，导致VCC的波形要缓一些，该5V是开关电源上电软启动时的输出波形。
图6：积分电路波形
❤把图4图5组合就得到图7的电路，这就是我们经常使用的PI电路（比例积分），在参考电压或分压电路里很常见，加电容的目的就是增加延时性，稳定VCC的电压不受5V波动而波动，VCC=2.5V。
图7,：PI电路
❤把图5中电容和电阻的位置交换一下得到如图8的电路，C1电容充满电后近似开路，VCC=0V；该电路就是微分运算电路的雏形。那么把5V改成信号源就构成了高通滤波电路。
图8：微分电路
❤如图9为上图的充电波形，红色表示5V的波形，蓝色表示VCC的波形，因为电容充电时的容抗由小变大直至开路，所以分压VCC由大变小直至为0V。也就是红色波形从0开始跳变一瞬间，VCC已经是最大值，所以微分有超前预判的性质（反映的是输入信号的变化率）。
图9：微分电路波形
如图10为（反相）比例运算电路
图10：比例运算电路
如图11，Uo与Ui成线性关系。
图11：比例运算电路波形
❤如图12、图13为微分运算电路的充放电过程：
充电过程的电容C1可等效成一个可变电阻，C1开始充电时的容抗为0，电压不可突变则电压为0，运放-输入端得到的分压为正最大峰值，于是Uo为运放的负最大峰值，随着电容充满电，U0逐渐变为0。
图12：微分运算电路-充电
放电过程的电容C1可等效成一个电压源，且电压不可突变，此时电流反向为最大值，R1电压瞬间反向也为最大值，运放-输入端得到的分压则为负最大峰值，于是Uo为运放的正最大峰值，随着电容放完电，U0逐渐变为0。
图13：微分运算电路-放电
❤如图14为微分运算电路的输入输出波形，联系前面的分析结果，则Uo反映的是Ui的变化率，这样就达到了预判超前的效果。
图14：微分运算电路波形
❤如图15为微分运算仿真电路，为了防止运放出现饱和，必须限制输入电流，实际使用时需要在电容C1输入端串联一个小电阻R2。串联电阻后的电路已经不是理想微分运算电路了，但是只要输入信号周期大于2倍RC常数，可以近似为微分运算电路。
图15：微分运算仿真电路
❤如图16为微分运算仿真电路波形，其中IN-为运放-输入端的波形。
图16：微分运算仿真电路波形
❤如图17、图18为积分运算电路的充放电过程：
充电过程的电容C1可等效成一个可变电阻，C1开始充电时的容抗为0，电压不可突变则电压为0，运放-输入端得到的分压为0，于是Uo为0，随着电容充满电，运放-输入端得到的分压为正最大值，U0为运放的负最大峰值。
图15：积分运算电路-充电
放电过程的电容C1可等效成一个电压源，且电压不可突变，运放-输入端得到的分压也不可突变，随着电容放完电，于是Uo由负最大峰值逐渐变为0。
图16：积分运算电路-放电
❤如图17为积分运算电路的输入输出波形，联系前面的分析结果，则Uo反映的是Ui的积累过程，这样就达到了延迟稳定的效果。
图17：积分运算电路波形
❤如图18为积分运算仿真电路，为了防止运放出现饱和，实际使用时需要在电容C2两端并联一个电阻R3。并联电阻后的电路已经不是理想积分运算电路了，但是只要输入信号周期大于2倍RC常数，可以近似为积分运算电路。
图18：积分运算仿真电路
❤如图19为积分运算仿真电路波形，其中IN-为运放-输入端的波形。
图19：积分运算仿真电路波形
❤要点：
①微分、积分运算电路利用了电容充放电时其电压不可突变的特性达到调节输出的目的，对变化的输入信号有意义；
②微分D控制有超前预判的特性，积分I控制有延迟稳定的特性，在PID调节速度上，微分D控制＞比例P控制＞积分I控制。
三、如何提高MCU抗干扰能力？
随着单片机的发展，单片机在家用电器、工业自动化、生产过程控制、智能仪器仪表等领域的应用越来越广泛。
然而处于同一电力系统中的各种电气设备通过电或磁的联系彼此紧密相连，相互影响，由于运行方式的改变，故障，开关操作等引起的电磁振荡会波及很多电气设备。
这对我们单片机系统的可靠性与安全性构成了极大的威胁。单片机测控系统必须长期稳定、可靠运行，否则将导致控制误差加大，严重时会使系统失灵，甚至造成巨大损失。
因此单片机的抗干扰问题已经成为不容忽视的问题。
2 干扰对单片机应用系统的影响
2.1 测量数据误差加大
干扰侵入单片机系统测量单元模拟信号的输入通道，叠加在测量信号上，会使数据采集误差加大。特别是检测一些微弱信号，干扰信号甚至淹没测量信号。
2.2 控制系统失灵
单片机输出的控制信号通常依赖于某些条件的状态输入信号和对这些信号的逻辑处理结果。若这些输入的状态信号受到干扰，引入虚假状态信息，将导致输出控制误差加大，甚至控制失灵。
2.3 影响单片机RAM存储器和E2PROM等
在单片机系统中，程序及表格、数据存在程序存储器EPROM或FLASH中，避免了这些数据受干扰破坏。但是，对于片内RAM、外扩RAM、E2PROM 中的数据都有可能受到外界干扰而变化。
2.4 程序运行失常
外界的干扰有时导致机器频繁复位而影响程序的正常运行。若外界干扰导致单片机程序计数器PC值的改变，则破坏了程序的正常运行。
由于受干扰后的PC 值是随机的，程序将执行一系列毫无意义的指令，最后进入“死循环”，这将使输出严重混乱或死机。
3 如何提高设备的抗干扰能力
3.1 解决来自电源端的干扰
单片机系统中的各个单元都需要使用直流电源，而直流电源一般是市电电网的交流电经过变压、整流、滤波、稳压后产生的，因此电源上的各种干扰便会引入系统。
除此之外，由于交流电源共用，各电子设备之间通过电源也会产生相互干扰，因此抑制电源干扰尤其重要。电源干扰主要有以下几类：
电源线中的高频干扰（传导骚扰）：
供电电力线相当于一个接收天线，能把雷电、电弧、广播电台等辐射的高频干扰信号通过电源变压器初级耦合到次级，形成对单片机系统的干扰；
解决这种干扰，一般通过接口防护；在接口增加滤波器、或者使用隔离电源模块解决。
感性负载产生的瞬变噪音（EFT）：
切断大容量感性负载时，能产生很大的电流和电压变化率，从而形成瞬变噪音干扰，成为电磁干扰的主要形式；
解决这种干扰，一般通过屏蔽线与双胶线，或在电源接口、信号接口进行滤波处理。
这二种方法都需要在系统接地良好的情况下进行，滤波器、接口滤波电路都必须良好的接地，这样才能有效的将干扰泄放。
4 模拟信号采样抗干扰技术
单片机应用系统中通常要对一个或多个模拟信号进行采样，并将其通过A/D转换成数字信号进行处理。
为了提高测量精度和稳定性：
要保证传感器本身的转换精度；
传感器供电电源的稳定；
测量放大器的稳定；
A/D转换基准电压的稳定；
要防止外部电磁感应噪声的影响;
如果处理不当，微弱的有用信号可能完全被无用的噪音信号淹没。
在实际工作中，可以采用具有差动输入的测量放大器，采用屏蔽双胶线传输测量信号，或将电压信号改变为电流信号，以及采用阻容滤波等技术。
5 数字信号传输通道的抗干扰技术
数字输出信号可作为系统被控设备的驱动信号（如继电器等），数字输入信号可作为设备的响应回答和指令信号（如行程开关、启动按钮等）。
数字信号接口部分是外界干扰进入单片机系统的主要通道之一。
在工程设计中，对数字信号的输入/输出过程采取的抗干扰措施有：
传输线的屏蔽技术，如采用屏蔽线、双胶线等；
采用信号隔离措施；
合理接地，由于数字信号在电平转换过程中形成公共阻抗干扰，选择合适的接地点可以有效抑制地线噪声。
6 硬件监控电路
在单片机系统中，为了保证系统可靠、稳定地运行，增强抗干扰能力，需要配置硬件监控电路，硬件监控电路从功能上包括以下几个方面：
上电复位：保证系统加电时能正确地启动；
掉电复位：当电源失效或电压降到某一电压值以下时，产生复位信号对系统进行复位；
电源监测：供电电压出现异常时，给出报警指示信号或中断请求信号；
硬件看门狗：当处理器遇到干扰或程序运行混乱产生“死锁”时，对系统进行复位。
7 PCB电路合理布线
PCB板设计的好坏对抗干扰能力影响很大。因此，在进行PCB 设计时，必须遵守PCB 设计的一般原则，并应符合抗干扰设计的要求。下面着重说明两点：
7.1 关键器件放置
在器件布置方面与其它逻辑电路一样，应把相互有关的器件尽量放得靠近些，这样可以获得较好的抗噪声效果。
时钟发生器、晶振和CPU 的时钟输入端都易产生噪声，要相互靠近些；
CPU 复位电路、硬件看门狗电路要尽量靠近CPU相应引脚；
易产生噪声的器件、大电流电路等应尽量远离逻辑电路。
7.2 D/A、A/D 转换电路地线的正确连接
D/A、A/D 芯片及采样芯片均提供了数字地和模拟地，分别有相应的管脚。
在线路设计中，必须将所有器件的数字地和模拟地分别相连，但数字地与模拟地仅在一点上相连。另外，也可以采用屏蔽保护，屏蔽可用来隔离空间辐射。
对噪声特别大的部件（如变频电源、开关电源）可以用金属盒罩起来以减少噪声源对单片机的干扰，对容易受干扰的部分，可以增加屏蔽罩并接地，使干扰信号被短路接地。
8 软件抗干扰原理及方法
尽管我们采取了硬件抗干扰措施，但由于干扰信号产生的原因错综复杂，且具有很大的随机性，很难保证系统完全不受干扰。
因此，往往在硬件抗干扰措施的基础上，采取软件抗干扰技术加以补充，作为硬件措施的辅助手段。软件抗干扰方法具有简单、灵活方便、耗费低等特点，在系统中被广泛应用。
8.1 数字滤波方法
数字滤波是在对模拟信号多次采样的基础上，通过软件算法提取最逼近真值数据的过程。数字滤波的的算法灵活，可选择权限参数，其效果往往是硬件滤波电路无法达到的。
8.2 输入信号重复检测方法
输入信号的干扰是叠加在有效电平信号上的一系列离散尖脉冲，作用时间很短。
当控制系统存在输入干扰，又不能用硬件加以有效抑制时，可用软件重复检测的方法，达到“去伪存真”的目的，直到连续两次或连续两次以上的采集结果完全一致时方为有效。
若信号总是变化不定，在达到最高次数限额时，则可给出报警信号。对于来自各类开关型传感器的信号，如限位开关、行程开关、操作按钮等，都可采用这种输入方式。
如果在连续采集数据之间插入延时，则能够对付较宽的干扰。
8.3 输出端口数据刷新方法
开关量输出软件抗干扰设计，主要是采取重复输出的方法，这是一种提高输出接口抗干扰性能的有效措施。对于那些用锁存器输出的控制信号，这些措施很有必要。
在尽可能短的周期内，将数据重复输出，受干扰影响的设备在还没有来得及响应时，正确的信息又到来，这样就可以及时防止误动作的产生。在程序结构的安排上，可为输出数据建立一个数据缓冲区，在程序的周期性循环体内将数据输出。
对于增量控制型设备不能这样重复送数，只有通过检测通道，从设备的反馈信息中判断数据传输的正确与否。在执行重复输出功能时，对于可编程接口芯片，工作方式控制字与输出状态字一并重复设置，使输出模块可靠地工作。
8.4 软件拦截技术
当窜入单片机系统的干扰作用在CPU 部位时，后果更加严重，将使系统失灵。
最典型的故障是破坏程序计数器PC 的状态，导致程序从一个区域跳转到另一个区域，或者程序在地址空间内“乱飞”，或者陷入“死循环”。
使用软件拦截技术可以拦截“乱飞”的程序或者使程序摆脱“死循环”，并将运行程序纳入正轨，转到指定的程序入口。
8.5 “软件看门狗”技术
PC 受到干扰而失控，引起程序“乱飞”，也可能使程序陷入“死循环”。当软件拦截技术不能使失控的程序摆脱“死循环”的困境时，通常采用程序监视技术WDT TIMER（WDT），又称看门狗技术，使程序脱离“死循环”。
WDT 是一种软、硬件结合的抗程序跑飞措施，其硬件主体是一个用于产生定时T 的计数器或单稳，该计数器或单稳基本独立运行，其定时输出端接至CPU 的复位线，而其定时清零则由CPU 控制。
在正常情况下，程序启动WDT 后，CPU 周期性的将WDT 清零，这样WDT 的定时溢出就不会发生，如同睡眠一般不起任何作用。在受到干扰的异常情况下，CPU 时序逻辑被破坏，程序执行混乱，不可能周期性的将WDT 清零，这样当WDT 的定时溢出时，其输出使系统复位，避免CPU因一时干扰而陷入瘫痪的状态。
9 总结
随着单片机系统的广泛应用和技术的进步，电磁干扰问题越来越突出，推广现有的、成熟的抗干扰技术，研究抗干扰的新技术、新方向是单片机应用技术的当务之急。
在单片机应用系统设计及应用中，只要充分考虑设备的电磁兼容性，并通过各种技术措施来消除干扰，就可以大大提高设备的稳定性和可靠性。
四、傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系是？为什么要进行这些变换
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系？他们的本质和区别是什么？为什么要进行这些变换。研究的都是什么？从几方面讨论下。
这三种变换都非常重要！任何理工学科都不可避免需要这些变换。
傅立叶变换，拉普拉斯变换，Z变换的意义
【傅里叶变换】在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样 的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周 期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的 信号值一样，不过如果信号是周期的话 ，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程 图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。
【拉普拉斯变换】工程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
拉普拉斯变换在工程学上的应用：应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
【Z变换】在数字信号处理中，Z变换是一种非常重要的分析工具。但在通常的应用中，我们往往只需要分析信号或系统的频率响应，也即是说通常只需要进行傅里叶变换即可。
那么，为什么还要引进Z变换呢？
【三者关系】
Z变换和傅里叶变换之间有存在什么样的关系呢？傅里叶变换的物理意义非常清晰：将通常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。每个正弦信号用幅度、 频率、相位就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱，频谱包括幅度谱和相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。在自然界，频率是 有明确的物理意义的，比如说声音信号，男同胞声音低沉雄浑，这主要是因为男声中低频分量更多；女同胞多高亢清脆，这主要是因为女声中高频分量更多。对一个 信号来说，就包含的信息量来讲，时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢？因为有的信号主要在时域表现其特性，如 电容充放电的过程；而有的信号则主要在频域表现其特性，如机械的振动，人类的语音等。若信号的特征主要在频域表示的话，则相应的时域信号看起来可能杂乱无 章，但在频域则解读非常方便。在实际中，当我们采集到一段信号之后，在没有任何先验信息的情况下，直觉是试图在时域能发现一些特征，如果在时域无所发现的 话，很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。信号的时域描述与频域描述，就像一枚硬币的两面，看起来虽然有所不同，但实际上都是同一个东西。正因为 如此，在通常的信号与系统的分析过程中，我们非常关心傅里叶变换。
既然人们只关心信号的频域表示，那么Z变换又是怎么回事呢？要说到Z变换，可能还要先追溯到拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是以法国数学家拉普拉斯命名的一种 变换方法，主要是针对连续信号的分析。拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人，他们所处的时代在法国是处于拿破仑时代，国力鼎盛。在科学上也取代英国成为当时世 界的中心，在当时众多的科学大师中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们中间最为璀璨的三颗星。傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加的论文，其评审人即 包括拉普拉斯和拉格朗日。
回到正题，傅里叶变换虽然好用，而且物理意义明确，但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻，比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。拉普拉斯 变换可以说是推广了这以概念。在自然界，指数信号exp(-x)是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。因此将原始信 号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件，这种变换就是拉普拉斯变换。这种变换能将微分方程转化为代数方程，在18世纪计算机还远未发明的时候， 意义非常重大。从上面的分析可以看出，傅里叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式，即所乘的指数信号为exp(0)。也即是说拉普拉斯变换是傅里叶变换 的推广，是一种更普遍的表达形式。在进行信号与系统的分析过程中，可以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果，然后再得到傅里叶变换这种特殊的结果。这种由 普遍到特殊的解决办法，已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便。
Z变换可以说是针对离散信号和系统的拉普拉斯变换，由此我们就很容易理解Z变换的重要性，也很容易理解Z变换和傅里叶变换之间的关系。Z变换中的Z平面与 拉普拉斯中的S平面存在映射的关系，z=exp(Ts)。在Z变换中，单位圆上的结果即对应离散时间傅里叶变换的结果。
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换之间最本质的区别
傅里叶变换
简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。
拉普拉斯变换
定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω 是复参变量，称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；
右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt
其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。
z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。
拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。
FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换 ，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换 中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。拉普拉斯变换 主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析（零极点图）依然常用。Fourier变换则随着FFT算法（快速傅立叶变换）的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。
而Z变换，简单地说，就是离散信号(也可以叫做序列)的拉普拉斯变换 ，可由抽样信号的拉普拉斯变换 导出（如果你想要更多，我可以导给你看），表示式如下：
ZT[f(n)]=从n为负无穷到正无穷对[f(n)Z^(-n)]求和 ,其所变换的域称之为“Z域”。
傅立叶变换是拉普拉斯变换的一种特例，在拉普拉斯变换中，只要令Re=1,就得到傅立叶变换。当然，两者可以转换的前提是信号的拉普拉斯变换的收敛域要包含单位圆（即包含圆周上的点）。
很多信号都不一定有傅立叶变换，因为狄力克雷条件比较苛刻，而绝大多数信号都有拉普拉斯变换。故对于连续信号，拉普拉斯变换比傅立叶变换用得更广泛。
两者的共同点：都把时域函数转换为频域函数（对于拉普拉斯变换来说，是转到复频域上）。另外，两者都能很方便地解出低阶微分方程。
这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域。傅里叶变换的出现颠覆了人类对世界的认知：世界不仅可以看作虽时间的变化，也可以看做各种频率不同加权的组合。举个不太恰当的例子：一首钢琴曲的声音波形是时域表达，而他的钢琴谱则是频域表达。
三种变换由于可以将微分方程或者差分方程转化为多项式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的计算成本。
另外，在通信领域，没有信号的频域分析，将很难在时域理解一个信号。因为通信领域中经常需要用频率划分信道，所以一个信号的频域特性要比时域特性重要的多。
具体三种变换的分析（应该是四种）是这样的：
傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换，傅里叶变换用于对非周期信号转换。
但是对于不收敛信号，傅里叶变换无能为力，只能借助拉普拉斯变换。（主要用于计算微分方程）
而z变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。（主要用于计算差分方程）
从复平面来说，傅里叶分析直注意虚数部分，拉普拉斯变换则关注全部复平面，而z变换则是将拉普拉斯的复平面投影到z平面，将虚轴变为一个圆环。（不恰当的比方就是那种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒，从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种感觉。）
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换公式
1．傅里叶级数
2.非周期傅里叶变换和逆变换
3. 非周期序列傅里叶变换
1．定义
一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。若设离散时间非周期信号为序列x(n)，则序列x(n)的傅里叶变换(DTFT)为：
当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是(0,2π)或其它任何一个周期。
2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：
离散时间序列x(n)的傅里叶变换存在且连续的条件为x(n)满足绝对可和。即：
反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
表3-1给出了常用序列的傅里叶变换，这在以后的实际应用中很重要。
3.1.2 非周期序列傅里叶变换的性质
从序列傅里叶变换定义式(3-1-1)可知，非周期序列的傅里叶变换就是序列的z变换在单位圆上的取值(当序列的z变换在单位圆上收敛时)，即：
因此，非周期序列傅里叶变换的一切特性，皆可由z变换得到。正因如此，下面所述的性质，读者可仿z变换性质的证明方法进行证明，在这里就不一一证明了。
表3-2 常用序列傅里叶变换
附录A 拉普拉斯变换及反变换
表A-1 拉氏变换的基本性质
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
5. Z变换
1 Z变换的定义
