推究函数的周期性的作用，以便于更好的利用周期
前言
函数的周期性到底对研究函数有什么作用？
作用列举
做函数的图象
由 \(y=\sin x\)， \(x\in[0,2\pi]\) 的图像拓展到 \(y=\sin x\)， \(x\in R\)
解三角不等式，常常是涉及有周期性的函数；
比如求解不等式的思路：\(\sin x >\cfrac{1}{2}\)，更多参阅
首先，这是超越不等式，不能使用代数方法求解，应该使用图像来求解，而涉及到图像时，由于函数 \(y=\sin x\) 有周期性，故分两步走，先选定一个周期[比如 \([0,2\pi]\)]，在这个周期内求解不等式的解集[在周期内的解集为 \((\cfrac{\pi}{6},\cfrac{5\pi}{6})\)]，然后将其拓展到 \(x\in R\) 上[在整个定义域内的解集为 \((2k\pi+\cfrac{\pi}{6},2k\pi+\cfrac{5\pi}{6})\)]\((k\in Z)\)。
求函数的解析式
【人教2019版教材\(P_{214}\) 第\(18\)题】已知函数 \(y=f(x)(x\in R)\)是周期函数，周期为 \(2\)，其部分图象如图所示 .
(1). 写出函数 \(y=f(x)\)
由于题目告诉我们周期为 \(2\)，故选 \([-1,1]\) 为一个周期，当 \(x\in[-1,1]\) 时的解析式为 \(y=|x|\)，再根据函数 \(y=f(x)\) 的图象和周期性，得到函数 \(y=f(x)\) 的解析式为 \(y=|x-2k|\)，此时，必须是 \(x\in[2k-1,2k+1]\)，\(k\in Z\)
说明：本题目的解析式不唯一，也可以为 \(y=|x+2k|\)，则此时必须是 \(x\in[-2k-1,-2k+1]\)，\(k\in Z\)
备注：当解析式确定为 \(y=|x-2k|\)时，说明是将 \(y=|x|\) 向左右平移周期 \(2\) 的整数倍，对应的自变量的取值区间也就变成了 \(x\in[2k-1,2k+1]\)，\(k\in Z\)
(2). 画出函数 \(y=f(x+1)\)
求函数的特殊值
已知\(f(x+1)\)是周期为 \(2\) 的奇函数，且当\(-1\leq x\leq 0\)时，\(f(x)=-2x(x+1)\)，且\(f(-\cfrac{3}{2})\)的值为_______.
分析：由于函数 \(f(x+1)\)，故\(f(-x+1)=-f(x+1)\)，即\(f(-x+1)+f(x+1)=0\)，
故函数\(f(x)\)关于点\((1，0)\)对称，则有\(f(x)+f(2-x)=0\)，即\(f(2-x)=-f(x)\)，
又函数 \(f(x+1)\) 是周期为 \(2\) 的周期函数，故 \(f(x)\) 也是周期为 \(2\)
则有\(f(2-x)=f(-x)\)，故\(f(-x)=-f(x)\)，即函数\(f(x)\)为奇函数，
\(f(-\cfrac{3}{2})=-f(\cfrac{3}{2})=-f(\cfrac{3}{2}-2)=-f(-\cfrac{1}{2})=2\cdot(-\cfrac{1}{2})(-\cfrac{1}{2}+1)=-\cfrac{1}{2}\)。
