向量的线性表示
前言
典例剖析
【2024高一专项】在正方形 \(ABCD\) 中，\(M\) 是 \(BC\) 的中点，若 \(\overrightarrow{AC}\)\(=\)\(\vec{m}\)，\(\overrightarrow{AM}\)\(=\)\(\vec{n}\)，则 \(\overrightarrow{BD}\) = 【\(\qquad\)】
$A.4\vec{m}-3\vec{n}$ $B.4\vec{m}+3\vec{n}$ $C.3\vec{m}-4\vec{n}$ $D.3\vec{m}+4\vec{n}$
分析：本题目其实就是以向量 \(\{\vec{m},\vec{n}\}\) 为基底，来线性表示向量 \(\overrightarrow{BD}\)，此时我们可以依托向量加法的三角形法则或者向量加法的平行四边形法则来表达所求向量，比如可以寻找向量 \(\overrightarrow{BD}\) 所在的三角形 \(\triangle BCD\)，用向量加法的三角形法则 \(\overrightarrow{BD}\)\(=\)\(\overrightarrow{BC}\)\(+\)\(\overrightarrow{CD}\) 来刻画向量\(\overrightarrow{BD}\) ，然后将向量 \(\overrightarrow{BC}\) 和 \(\overrightarrow{CD}\)
解 ： \(\overrightarrow{BD}\)\(=\)\(\overrightarrow{BC}\)\(+\)\(\overrightarrow{CD}\)
\(=2\overrightarrow{MC}+(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)
\(=2\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MC}-\vec{m}\)
\(=4\overrightarrow{MC}-\vec{m}\)
\(=4(\vec{m}-\vec{n})-\vec{m}\)
\(=3\vec{m}-4\vec{n}\)，故选 \(C\)
【2024高一数学】在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\) 是 \(BC\) 的中点，点 \(E\) 在 \(AD\) 上，且 \(\overrightarrow{AE}\)\(=\)\(3\overrightarrow{ED}\)，则 \(\overrightarrow{AE}\) = 【\(\qquad\)】
$A.\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ $B.\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\cfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}$ $C.\cfrac{3}{8}\overrightarrow{AB}+\cfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}$ $D.\cfrac{3}{8}\overrightarrow{AB}+\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
提示： 选 \(C\) ，希望能牢记向量加法的三角形法则的常用结论：\(\overrightarrow{AD}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)
【2024高一数学】在平行四边形 \(OADB\) 中，设 \(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}\)，\(\overrightarrow{BM}\)\(=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)，\(\overrightarrow{CN}\)\(=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}\)，试用\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\) 表示\(\overrightarrow{OM}\)，\(\overrightarrow{ON}\) 和 \(\overrightarrow{MN}\)，
解：\(\overrightarrow{OM}\)\(=\)\(\overrightarrow{OC}\)\(+\)\(\overrightarrow{CM}\) [1]
\(=\cfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})+\cfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}\)
\(=\cfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})+\cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
\(=\cfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})+\cfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
\(=\cfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})+\cfrac{1}{3}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\)
\(=\cfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})+\cfrac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})\)
\(=\cfrac{1}{6}\vec{a}+\cfrac{5}{6}\vec{b}\)
\(\overrightarrow{ON}\)\(=\)\(\overrightarrow{OC}\)\(+\)\(\overrightarrow{CN}\)
\(=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{OD}+\cfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}\)
\(=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{OD}+\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{1}{2}\overrightarrow{OD}\)
\(=\cfrac{2}{3}\overrightarrow{OD}\)\(=\cfrac{2}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\)
\(=\cfrac{2}{3}\vec{a}+\cfrac{2}{3}\vec{b}\)
\(\overrightarrow{MN}\)\(=\)\(\overrightarrow{CN}\)\(-\)\(\overrightarrow{CM}\)
\(=\cfrac{1}{6}\overrightarrow{OD}-\cfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
\(=\cfrac{1}{6}(\vec{a}+\vec{b})-\cfrac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})\)
\(=\cfrac{1}{2}\vec{a}-\cfrac{1}{6}\vec{b}\)
- 此处选取 \(\triangle OMC\) 的原因是，当\(\overrightarrow{OM}\)\(=\)\(\overrightarrow{OC}\)\(+\)\(\overrightarrow{CM}\) 拆解完成后，下一步 \(\overrightarrow{OC}\) 蕴含在向量加法的平行四边形法则中对角线向量\(\overrightarrow{OD}\)[可以用共起点的两个向量的和来表达]中，\(=\cfrac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\)，\(\overrightarrow{CM}\) 蕴含在向量加法的平行四边形法则中对角线向量\(\overrightarrow{AB}\)[可以用共起点的两个向量的差来表达]中，这样很快就可以完成所求向量的线性表示。 ↩︎
