【讲解清晰生动，深入浅出，通俗易懂】什么是测地线（geodesic）？

原创

禅与计算机程序设计艺术 2022-06-13 06:03:02 ©著作权

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测地线就是在一个三维物体的表面上找出两个点的最短距离。测地线的具体应用挺广的，比如说飞机船只的航道设计。首先我们知道在二维平面上两点之间线段最短，但若是换到三维这就没办法实现了，因为你无法穿透这个物体以寻求最短距离。所以，我们就得想办法在曲面上面寻求最短距离。因为曲面略微抽象而且路径很多让人感觉无从下手，所以看似很难找。

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其实不然，想象一张纸（假设它的厚度是忽略不计的），你既可以平铺让它处于绝对二维状态，又可以将其折叠成不同形状使其处于三维状态。如果这样想，事情就变简单了。假设你的那张不计厚度的纸处于平面状态，纸上有两个位置不同的点，你可以很容易找到两点之间最短距离。然后，你再将纸折叠成不同形状，尽管此时面不同了，但是两点的最短距离依然还是原先那条线：因为面不管被如何折面积都是不变的。

所以要找到测地线的关键就是把曲面转化成平面的这一步。微积分里面的术语叫parametrization（参数化），先不做过多讲解。当把曲面参数化成二维面之后，我们可以通过微积分求导，最后把二维重新转回三维。

数学语言表达

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The geodesic equation

In aRiemannian manifoldMwithmetric tensorg, the lengthLof a continuously differentiable curve γ : [a,b] →Mis defined by

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Another equivalent way of defining geodesics on a Riemannian manifold, is to define them as the minima of the followingactionorenergy functional

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TheEuler–Lagrange equationsof motion for the functionalEare then given in local coordinates by

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where

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the Christoffel symbols of the metric

are theChristoffel symbolsof the metric. This is thegeodesic equation.

几何直观表达

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释义

1.ADJ relating to or involving the geometry of curved surfaces 曲面几何学的 (See also geodetic, geodesical)

2.N the shortest line between two points on a curved or plane surface 短程线 (Also called geodesic line)

The existence of the infinite closed geodesics of a compact no-simply connected Riemannian manifold.

紧致的非单连通黎曼流形上无穷多的闭测地线存在性问题？

Geodesics on smooth surface have many good geometric properties and there are equivalent partial differential equations and analytical methods solving it.

测地线在光滑曲面上有很好的几何性质，也有相应的测地线偏微分方程表达以及一些解析的方法来求解。