Description

n passengers board an airplane with exactly n seats. The first passenger has lost the ticket and picks a seat randomly. But after that, the rest of passengers will:

  • Take their own seat if it is still available,
  • Pick other seats randomly when they find their seat occupied

What is the probability that the n-th person can get his own seat?

Example 1:

Input: n = 1
Output: 1.00000
Explanation: The first person can only get the first seat.

Example 2:

Input: n = 2
Output: 0.50000
Explanation: The second person has a probability of 0.5 to get the second seat (when first person gets the first seat).

Constraints:

  • 1 <= n <= 10^5

分析

题目的意思是：求出第n个人能够正确坐到第n个座位的概率。这是一道数学推论的问题：
对于n1的情况，概率p=1
对于n2的情况，概率p=1/20+1/21=1/2
对于n==3的情况，概率p=1/31+1/3(1/2+0)+1/30=1/2
可以推出公式：
dp[n]=1/n+1/ndp[n-1]+1/ndp[n-2]+…+1/n0
又因为：dp[i]=1/2
dp[n]=1/2
对于n=3情况的解释：

  1. 如果第一个人占了自己的位置，因为题目说，从第二个人开始，如果发现自己座位是空的，就会乖乖坐自己的作为，因此这种情况下第n个人肯定可以坐到自己的座位上，这种概率发生的可能性为1/3
  2. 如果第一个人占了第二个人的位置（1/3），因为题目说，从第二个人开始，如果发现自己的座位被占用了，就会继续随机挑选一个座位，这种情况下：
  1. 第二个人如果占了剩下座位的原本第一个人的座位，那么第三个人就能正确做下
  2. 如果第二个人占了剩下作为的第三个人的座位，那么第三个人就没办法坐下来了
  3. 因此整个第二大点最后一个人坐到自己座位这种事件的发生概率是1/3 * 1/2 + 1/3 * 0
  1. 如果第一个人占了第三个人的座位，那么第三个人肯定没办法坐到自己的作为了，这时候第三个人坐到自己座位的概率为0
  2. 上述三种大情况，我们可以算出来最后的概率 P(3) = 1/3 * 1 + 1/3 * (1/2 + 0) + 1/3 * 0 = 1/2

代码

class Solution:
    def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float:
        return 1 if n==1 else 0.5

参考文献

​​[LeetCode] 数学推论​​