矩阵链乘法 Java 矩阵链乘法流程图

转载

小屁孩 2023-12-19 20:25:47

文章标签 矩阵链乘法 Java 算法动态规划 c++ 矩阵 文章分类 Java 后端开发

老规矩，我们先由题切入：

矩阵链乘法问题(matrix-chain multiplication problem)可描述如下：

给定n个矩阵的链<A1,A2,...,An>，其中，Ai和Ai+1是可乘的，（矩阵Ai的规模为p(i-1)×p(i) (1<=i<=n) ），求完全括号化方案，使得计算乘积A1A2...An所需标量乘法次数最少。

即：

矩阵链乘法 Java 矩阵链乘法流程图_矩阵

题干描述就是如此，除此之外，我们必须清楚矩阵的几个性质：

1.矩阵链式乘法满足结合律

2.计算同一个矩阵链的乘法有很多种，虽然最后结果一样，但是所需乘法的代价是不一样的

3.A是p×q的矩阵，B是q*r的矩阵，那么矩阵C=A*B是p×r的矩阵。C所需的标量乘法的次数为pqr。

我们举个例子：

矩阵链乘法 Java 矩阵链乘法流程图_动态规划_02

接下来我们说解题思路：

首先定义m[i,j]：定义为矩阵Ai*A(i+1)*...*Aj所需乘法代价最小的次数。

所以：

矩阵链乘法 Java 矩阵链乘法流程图_算法_03

pi-1*pk*pj是计算到最后两个矩阵(i-1)*k 和矩阵k*j相乘所需的乘法代价。

c++代码如下：

#include <iostream>

using namespace std;
const int intmax=2147483647;
int const M=8; //M为存储矩阵边的数组的大小，M=n+1（n为矩阵个数）
int MatrixChainOrder(int *p,int Length,int m[][M],int s[][M]) //Length为存储边的数组的长度，n=Length-1为矩阵个数
{
	int q,n=Length-1;
	for(int i=1;i<=n;i++) m[i][i]=0; //初始化矩阵m[][]都为0

	for(int l=2;l<=n;l++) 	//l为要拆成的矩阵链的长度
	{
		for(int i=1;i<=n-l+1;i++)
		{
			int j=i+l-1; //为什么j=i+l-1呢，因为矩阵链长度最大为l,所以根据i我们可以得到j
			m[i][j]=intmax;  //m[i][j]初始值为0，因为后面要比较m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j] 和m[i][j]谁更小，所以我们在这里给m[i][j]赋一个很大的值
			for(int k=i;k<=j-1;k++)  //比较m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j] 和m[i][j]谁小
			{
				q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
				if(q<m[i][j])   //如果m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]更小（所需乘法次数更少），那么就更新m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j],并且将此时的k值储存在s[i][j]中
				{
					m[i][j]=q;
					s[i][j]=k;
				}
			}
		}
	}
return m[1][n]; //最后结果
}

void PrintPath(int s[][M],int i,int j)
{
	if(i == j) cout<<"A"<<i;
	else
	{
		cout<<"(";
		PrintPath(s,i,s[i][j]);
		PrintPath(s,s[i][j]+1,j);
		cout<<")";
	}
}

int main()
{

   int p[M]={30,35,15,5,10,20,25,10};//7个矩阵，但是存了8个边
   int m[M][M],s[M][M];
   int k=MatrixChainOrder(p,M,m,s);
   cout<<"当有7个矩阵时,最优解为: \n"<<k<<endl;
   PrintPath(s,1,7);

    return 0;
}

输出结果：

矩阵链乘法 Java 矩阵链乘法流程图_算法_04