Python 离散函数 功率谱 离散信号的功率怎么求

一、连续与离散信号

1.连续信号表示：x(t)

离散信号表示：x[n]，仅表示整数

注：看上去就是函数表示，如$x = x(t), \phi = \phi(t)$

2.信号的能量（Energy）和功率（Power）
$\begin{aligned} &E = \int^{t_2}_{t_1}|x(t)|^2dt, \qquad E = \sum^{n_2}_{n = n_1}|x[n]|^2\\ &P = \frac{1}{t_2 - t_1}\int^{t_2}_{t_1}|x(t)|^2dt, \: P = \frac{1}{n_2 - n_1 + 1}\sum^{n_2}_{n = n_1}|x[n]|^2\\ &E_\infty = \lim_{T \rightarrow \infty} \int^T_{-T}|x(t)|^2, \quad E_{\infty} = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{2N + 1} \sum^{N}_{n = -N}|x[n]|^2\\ &P_{\infty} = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{E_{\infty}}{2T}, \qquad P_\infty = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{E_\infty}{2N + 1} \end{aligned}$
3.分类

（1）$E_\infty < \infty$（不为无穷大 7），$P_\infty < \infty$. 例$x(t) = 1, t \in [0, 1]$

（2）$E_\infty = \infty, P_\infty < \infty$，例$x[t] = 4$

（3）$E_\infty = \infty, P_\infty = \infty$，例$x(t) = t$

补充内容：信号的传递形式（声、电、光）；信号用于传递信息

二、独立变量变换

1.信号变换：

$x(t) \rightarrow x(\alpha t + \beta)$：先变化$\beta$，再变化$\alpha$

2.周期函数

3.奇偶函数（性质）：任意定义域对称的函数可写为其函数+偶函数
$x(t) = Ev\{x(t)\} + Od\{x(t)\}\\ Ev\{x(t)\} = \frac{1}{2}[x(t) + x(-t)]\\ Od\{x(t)\} = \frac{1}{2}[x(t) - x(-t)]$

三、数学补充：复数

1.代数形式Cartesian form：z = x + yj

实部Re{z} = x，虚部Im{z} = y

2.指数形式polar form：$z = re^{j\theta}$

类似极坐标表示形式，在复数坐标系中|z| = r，$\theta$为复数与实轴的夹角

3.欧拉公式：$e^{j\theta} = cos\theta + jsin\theta$

四、指数和三角函数的信号

1.复数指数信号：$x(t) = Ce^{at}$

2.指数信号与三角函数

$e^{jw_0 t}$的周期为$\frac{2\pi}{w_0} = T$（由$e^{jw_0t} = cosw_0 + jsin(w_0t)$得出）

$Acos(w_0 t+\phi) = A \cdot Re\{e^{j(w_0t + \phi)}\}$

$Asin(w_0t + \phi) = A\cdot Im\{e^{j(w_0t + \phi)}\}$

特点$E_\infty = \infty$（能量无穷）$P_\infty < \infty$ （功率有限）
$\begin{aligned} &E_{period} = \int^{T_0}_{0}|e^{jw_0t}|^2 dt = \int^{T_0}_0 1 dt = T_0\\ &P_\infty = 1 \end{aligned}$
频率相同的函数集：$\phi_k(t) e^{jkw_0t}, k \in Z$

3.普遍形式：$x(t) = Ce^{at}$

$C = |C|e^{j\theta}, \quad a = r + jw_0$

化简为$x(t) = |C|e^{rt}cos(w_0 t + \theta) + j|C|e^{rt}sin(w_0 t + \theta)$

4.离散的复数指数函数

$x[n] = C\alpha^n, x[n] = Ce^{\beta n}$

设$\alpha = |\alpha|e^{jw_0}, \quad C = |C|e^{j\theta}$，则化简为一般形式如下

$C\alpha^n = |C||\alpha|^n cos(w_0 n + \theta) + j|C||\alpha|^n sin(w_0 n + \theta)$

对于$|\alpha| < 1$，图形如下

对于$|\alpha| > 1$，图形如下

5.$e^{jw_0n}$的性质

（1）连续信号的$w_0$越大，则频率越高，而离散信号不同

因为$e^{j(w_0 + w\pi)n} = e^{jw_0n}e^{j2\pi n} = e^{jw_0n}$，频率不变

（2）连续信号对$\forall w_0$都为周期函数，离散信号不同

考虑$e^{jw_0(n + N)} = e^{jw_0n}w^{jw_0 N}$，当为周期函数时，要求$Nw_0 = 2\pi m \Rightarrow N = m\frac{2\pi}{w_0}$

只有当$\frac{2\pi}{w_0}$时有理数时才为周期函数

找到最小周期$N = m\frac{2\pi}{w_0}$，基础频率为$\frac{2\pi}{N}$

注：实际上就是w内要有$\pi$，而且剩余部分为分数，这样n不断增加时才有可能形成$2\pi$的整数倍

四、单位脉冲和单位越阶函数

1.单位脉冲：

$\delta[n] = \begin{cases} 0, \quad n \neq 0\\ 1, \quad n = 0 \end{cases}$图像如下

单位越阶函数：

$u[n] = \begin{cases} 0, \quad n < 0\\ 1, \quad n \geq 0\end{cases}$，图像如下

2.关系

$\delta[n] = u[n] - u[n - 1]\\ u[n] = \sum^n_{m = -\infty} \delta[m]\\ u[n] = \sum^{\infty}_{k = 0}\delta[n - k]$

作用：单位脉冲乘上其它信号可以对其它信号进行取样

例如：$x[n]\delta[n - n_0] = x[n_0]\delta[n - n_0]$，就相当于对$n_0$这一点进行取样

3.连续单位越阶函数

$u(t) = \begin{cases}0, \quad t<0\\ 0, \quad t>0 \end{cases}$

注：在t = 0，没有定义

连续单位脉冲

$\delta(t) = \begin{cases} 0, \quad t \neq 0\\ 1,\quad t = 0 \end{cases}$

4.关系
$u(t) = \int^t_{-\infty} \delta(t) dt\\ \delta(t) = \frac{du}{dt}$
同样可以用$\delta$进行取样：$x(t)\delta(t - t_0) = x(t_0)\delta(t - t_0)$

注：实际上$u, \delta$都不是传统意义上的函数，在奥本海姆的书里也没有详细解释．这两个函数在零点的”导数“就规定为之后的函数值．单位脉冲函数也有一小段持续时间，因此用箭头表示．由于这种东西求导很奇怪，下举一例

例：对如图所示的函数求导

求导后得到的导函数为

五、连续/离散系统

1.连续系统：$x(t) \rightarrow y(t)$

离散系统：$x[t] \rightarrow y[t]$

2.很多不同的物理现象能被归结为详细的系统（函数）

RC电路

$\begin{cases} i(t) = \frac{v_s(t) - v_c(t)}{R}\\ i(t) = C\frac{dv_c(t)}{dt} \end{cases} \Rightarrow \frac{1}{RC}v_s(t) = \frac{dv_c(t)}{dt} + \frac{1}{RC}v_c(t)$

摩擦力$f = \rho v(t)$
$$

\frac{dv(t)}{dt} = \frac{1}{m}[f(t) - \rho v(t)]

\Rightarrow

\frac{dv(t)}{dt} + \frac{\rho}{m}v(t) = \frac{1}{m}f(t)

$$

综合上面两个物理系统，可以看到这两个物理系统都可以写成如下的形式
$\frac{dy(t)}{dt} + ay(t) = bx(t)$

六、基础系统性质

1.无记忆系统：输出的y(t)进决定于当前的x(t)

2.可逆系统：就跟名字一样，若有$f:x(t) \rightarrow y(t)$和$f^{-1}: y(t) \rightarrow x(t)$

3.因果性：输出的y(t)只取决于$x(k), k \leq n$；显然满足无记忆性则一定满足因果性

4.稳定性：对于有界的$x(t)$，$ y(t)$也有界

5.时间不变性：给x(t)一段时间的偏移，如$t \rightarrow t + t_0$，那么输出的y(t)也会在原图形上有相同的偏移；例如今天做RC电路实验，跟明天做RC电路实验得到的电压变化图形一样

6.线性系统：$y_1(t) = x_1(t),\quad y_2(t) = x_2(t)$满足下列条件

（1）可加性：$x_1(t) + x_2(t)$输出为$y_1(t) + y_2(t)$

（2）齐次性：$ax_1(t) = ay_1(t)$

7.理解系统：系统的本质就是两次函数映射
$\begin{cases} x = g(t)\\ y = f(x, t) \end{cases}$
例：考察$y = x(2t)$的时间不变性

化简成两次映射的形式为：$x = g(t), y = f(x, t) = g(2t)$，其中y不能表示成y = G(x)的形式

（1）取定时间$t_0$，得$x_0 = g(t_0), \quad y_0 = f(x_0, t_0) = g(2t_0)$，此时$x_0 \neq g(2t_0)$

（2）给$x_0$时间移动$\Delta t$，$x_1 = g(t_0 + \Delta t), t_1 = t_0 + \Delta t$

（3）给$y_0$移动$\Delta t$，$y_1 = g(2t_0 + 2\Delta t) = g(2t_1)$

（4）由$x_1$无法表示$t_1 = g^{-1}(x)$，因此也无法确定$y_1$得图像是否有相同的平移

实际上时间不变性得本值是y = f(x, t)可表示成y = H(t)和y = G(x)两种形式