文章目录

  • 一、树型结构（了解）
  • 1.概念
  • 2. 树与非树
  • 3. 树的一些重要的概念
  • 4. 树的表示形式（了解）
  • 5. 树的一些应用
  • 二、二叉树
  • 1.二叉树的概念
  • 2.二叉树的基本形态
  • 3.两种特殊的二叉树
  • 4. 二叉树的性质
  • 5. 二叉树的存储
  • 三、二叉树的基本操作
  • 1.二叉树的遍历
  • 2.前序遍历
  • 3. 中序遍历
  • 4. 后序遍历
  • 5. 求结点个数
  • 6.求叶子结点个数
  • 7. 求第 k 层结点个数
  • 8.获取二叉树的高度
  • 9. 查找 val 所在结点
  • 10. 层序遍历
  • 11. 判断一棵树是不是完全二叉树
  • 完！


要想了解二叉树先要知道什么是树

一、树型结构（了解）

JAVA 树存储结构 java的树数据结构_二叉树

1.概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

它具有以下特点：

  • 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
  • 除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
  • 树是递归定义的

2. 树与非树

如果是一棵树那它的结点关系就必须满足一下几点，否则它就是非树

  • 子树是不相交的
  • 除了根节点外，每个结点有且仅有一个父亲节点
  • 一颗N个结点的树拥有N-1条边

下图3个树就是非树

JAVA 树存储结构 java的树数据结构_结点_02

3. 树的一些重要的概念

JAVA 树存储结构 java的树数据结构_数据结构_03

  • 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的度为6，E的度为2.
  • 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
  • 叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
  • 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
  • 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
  • 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
  • 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
  • 树的高度：节点的最大层次，上面那个树的高度就是4
  • 树的深度：当前节点离根节点的距离，一棵树最大的深度也就是这棵树的高度

JAVA 树存储结构 java的树数据结构_二叉树_04


下面这些树的概念只需要了解即可，没必要记忆

  • 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
  • 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
  • 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
  • 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
  • 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
  • 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林

4. 树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，
如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
	char value; // 树中存储的数据
	Node firstChild; // 第一个孩子引用
	Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

JAVA 树存储结构 java的树数据结构_数据结构_05

5. 树的一些应用

文件系统管理（目录和文件）

JAVA 树存储结构 java的树数据结构_JAVA 树存储结构_06

二、二叉树

JAVA 树存储结构 java的树数据结构_java_07

1.二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

二叉树的特点：

  1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2.二叉树的基本形态

JAVA 树存储结构 java的树数据结构_二叉树_08


上图给出了几种特殊的二叉树形态，从左往右依次是：空树、只有根节点的二叉树、节点只有左子树、节点只有右子树、节点的左右子树均存在，一般二叉树都是由上述基本形态结合而形成的。

3.两种特殊的二叉树

  1. 满二叉树: 一个二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2K - 1，则它就是满二叉树。
  2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

JAVA 树存储结构 java的树数据结构_java_09

4. 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2i-1(i>0)个结点
2. 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2k-1 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 logJAVA 树存储结构 java的树数据结构_java_10(n+1) 向上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，
则对于序号为i的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

5. 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。这里先介绍链式存储，顺序存储会在优先级队列中介绍。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
	char val; // 数据域
	Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
	char val; // 数据域
	Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
	Node parent; // 当前节点的根节点
}

本文采用的是孩子表示法来创建二叉树！

三、二叉树的基本操作

1.二叉树的遍历

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

  1. NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树
  2. LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树
  3. LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历

JAVA 树存储结构 java的树数据结构_数据结构_11


来看一下这棵二叉树的前、中、后序遍历

前序遍历(根左右)：A B D E H C F G

中序遍历(左根右)：D B E H A F C G

后序遍历(左右根)：D H E B F G C A

那么代码是怎么实现的呢？

2.前序遍历

二叉树是用递归遍历的，当然也可以用非递归实现。不过一般都是用递归。
思路：先打印根节点，再不断递归树的左，直到为空，再去递归右树。

// 前序遍历
    void preOrderTraversal(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.val+" ");
        preOrderTraversal(root.left);
        preOrderTraversal(root.right);
    }

3. 中序遍历

// 中序遍历
    void inOrderTraversal(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        inOrderTraversal(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inOrderTraversal(root.right);
    }

4. 后序遍历

// 后序遍历
    void postOrderTraversal(TreeNode root) {
        preOrderTraversal(root.left);
        preOrderTraversal(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }

5. 求结点个数

求节点可以用遍历也可用子问题思路。
思路：非常简单，利用二叉树遍历的代码，把打印改成计数就好了。

// 遍历思路-求结点个数
    static int size = 0;
    void getSize1(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        BinaryTree.size++;
        getSize1(root.left);
        getSize1(root.right);
    }
    // 子问题思路-求结点个数
    int getSize2(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        return getSize2(root.left)+getSize2(root.right)+1;
    }

6.求叶子结点个数

同样，求叶子节点的个数也有遍历和子问题两种方法
思路：因为叶子节点没有子节点，所以只要判读某个节点的左右都为空就是叶子节点。

// 遍历思路-求叶子结点个数
    static int leafSize = 0;
    void getLeafSize1(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        if (root.left == null && root.right == null) {
            BinaryTree.leafSize++;
        }
        getLeafSize1(root.left);
        getLeafSize1(root.right);
    }
    // 子问题思路-求叶子结点个数
    int getLeafSize2(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        if (root.right == null && root.left == null) {
            return 1;
        }

        return getLeafSize2(root.left)+getLeafSize2(root.right);
    }

7. 求第 k 层结点个数

思路：一直递归，递归到k-1等于0时就返回1，如果k-1没有等于0节点就为空了说明该树的左边或者右边在k层没有节点。

// 子问题思路-求第 k 层结点个数
    int getKLevelSize(TreeNode root,int k) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        if (k-1 == 0) {
            return 1;
        }

        return getKLevelSize(root.left,k-1)+getKLevelSize(root.right,k-1);
    }

8.获取二叉树的高度

思路：从根节点开始不断递归左树和右树取它们的较大值就是该树的高度

// 获取二叉树的高度
    int getHeight(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);
        return (leftHeight) > (rightHeight) ? (leftHeight+1) : (rightHeight+1);
    }

9. 查找 val 所在结点

// 查找 val 所在结点，没有找到返回 null
    // 按照 根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找
    // 一旦找到，立即返回，不需要继续在其他位置查找
    TreeNode find(TreeNode root, char val) {
        if (root == null) {
            return null;
        }
        if (root.val == val) {
            return root;
        }
        TreeNode ret = find(root.left,val);
        if (ret != null) {
            return root;
        }
        ret = find(root.right,val);
        if (ret != null) {
            return root;
        }
        return null;
    }

10. 层序遍历

层序遍历就是从上往下的一种顺序遍历

比如下面的这棵树的层序遍历就是 ：A B C D E F G H I

JAVA 树存储结构 java的树数据结构_二叉树_12

代码实现思路：我们需要一个队列，先把根节点入队，再出队。出队的同时如果它的左右节点不为空，那么就把它的左右节点入队，直到队列为空。

// 层序遍历
    void levelOrderTraversal(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);

        while  (!queue.isEmpty()){
            TreeNode cur = queue.poll();
            System.out.print(cur.val+" ");
            if(cur.left != null) {
                queue.offer(cur.left);
            }
            if(cur.right != null) {
                queue.offer(cur.right);
            }
        }
    }

11. 判断一棵树是不是完全二叉树

思路：和层序遍历类似，不过这里的区别是出队的同时无论该节点的左右树是否为 空 都要入队。接着再一个个出队，同时判断如果队列还没出完时有一个元素为 null 则该树就不是一个完全二叉树。

// 判断一棵树是不是完全二叉树
    boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return true;
        }

        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while(!queue.isEmpty()) {
            TreeNode treeNode = queue.poll();
            queue.offer(root.left);
            queue.offer(root.right);
        }
        while(!queue.isEmpty()) {
            TreeNode tmp = queue.poll();
            if(tmp == null) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }