状态观测 运动控制 python 状态观测器公式

背景

有些状态量并不能由传感器直接观测出来，那么可以通过控制量和输出量把状态量观测出来。

全状态观测器

对于一个系统 :
$\dot x=Ax+bu\\y=cx$
如果已知A、b、c（也就是已知模型），那么可以观测出估计状态量$\hat x$：
$\hat{\dot x}=A\hat x+bu$
只要能获取原系统的初始状态，那么是可以得到$\hat x(t)=x(t)，t\ge0$的。

这就是开环状态观测器

开环观测器有个很大的问题是，如果A的特征值在右半平面，一旦某一个时刻的状态观测不准确，那么估计状态和实际状态之间的误差会越变越大，最终状态的估计完全失真。

这里留一个思考题，为什么说A的特征值在右半平面，系统会不稳定呢？（我们通常把这个当作一个结论） 答案我放在这篇博客里了【控制理论】【数学基础】为什么说对于dX=AX系统，A的特征值在右半平面系统不稳定。

既然开环观测器不稳定，那么引入一个修正项$L(y-c\hat x)$，新的观测状态方程写作：

$\hat{\dot x}=A\hat x+bu+L(y-c\hat x)$

L是需要设计的矩阵，相比于开环状态器，这个观测器形成了闭环。

闭环状态观测器的稳定要好很多，一起来分析一下，定义误差$e=x-\hat x$，

则：$\dot e=\dot x-\dot {\hat x}$，把两个状态方程带入进去，有：

$\dot e=(A-Lc)e$,

那么只要$A-Lc$的特征值全部在频域负半平面，那么误差最终肯定会收敛到零，而不论初始的误差有多大。

怎样可以让$A-Lc$的特征值全部在频域负半平面呢，要满足系统(A,c)能观测。

全状态观测器的设计方法

1、根据期望的极点设计
$(s-\lambda_1)(s-\lambda_2)...(s-\lambda_n)=0$，期望的极点等于$A-Lc$的特征值。
2、实际中系统的状态方程肯定是有误差的，A这个状态矩阵没法得到，那么怎么解决？
step1、设计和A同维的矩阵F
step2、设计矫正矩阵L，使得系统(F,L)可观测
step3、计算矩阵T，$TA-FA=Lc$
step4、新的状态矩阵
$\dot z=Fz+Tbu+Ly\\ \hat x=T^{-1}z$
只要F矩阵稳定，那么误差最终会减小到零。证明过程比较简单，就不放了。

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