卷积核运算的权重 卷积核和权重

1 介绍

在使用CNN搭建目标检测模型时，有一个很重要的步骤就是需要进行权重初始化，那么为什么需要进行权重初始化呢？

2 权重初始化的原因

关于为什么要进行权重初始化，请阅读知乎文章《神经网络中的权重初始化一览：从基础到Kaiming》，以下简称为《初始化概览》；

原因一：防止深度神经网络在正向（前向）传播过程中层激活函数的输出损失梯度出现爆炸或消失

如果发生任何一种情况，梯度值太大或太小，就无法有效地向后传播，并且即便可以向后传播，网络也需要花更长时间来达到收敛。

猜想1：矩阵乘法的连乘会导致数值爆炸

《初始化概览》中提到：让我们假设有一个没有激活函数的简单的100层网络，并且每层都有一个包含这层权重的矩阵a。为了完成单个正向传播，我们必须对每层输入和权重进行矩阵乘法，总共100次连续的矩阵乘法。……呃！在这100次矩阵乘法某次运算中，层输出变得非常大，甚至计算机都无法识别其标准差和均值。

这里实际上模拟的是FC层中的矩阵乘法，我们复现了这个实验，结果如下：

实验代码请参考【exp_multiple_continued _matrix_multiplication】（check whether it would be blocked）

这说明矩阵乘法连乘是会导致数值爆炸的；

原因二：权重初始化使训练稳定（收敛加快）

既然不好的权重初始化会导致梯度消失等问题，那么好的初始化就会有助于收敛！
此原因来自于李沐老师的课程《14 数值稳定性 + 模型初始化和激活函数【动手学深度学习v2】》 权重初始化使训练稳定，其实现方式主要是使模型参数在训练过程中数值范围更加稳定，

李沐老师：“可以提高数值稳定性”。

这里可以看看有三老师的课件，

3 猜想：如何生成好的权重分布

在学习权重初始化时，我们一直在想一个奇怪的问题：为什么现在常用的初始化方法都是使用一些类似随机的分布，例如：随机分布或者正态分布，而不是使用一些类似确定性的初始化方法，例如：傅里叶变换基或者小波变换基呢？

后来想了一下，感觉还是不太容易实现的，

对于向量表示来说，我们期望找到的是尽可能“分布均匀”的一组向量表示，

在数学上来说，就是希望任意两个向量的点积的最大值尽可能小，也就是，

$min\,max\,\Theta(\omega_i\cdot\omega_j)$

其中，$\Theta(\cdot)$为取两向量夹角的函数，$\omega\in R^m，1\leqslant i,j\leqslant N$，$N$为需要生成向量的个数；

（这个跟正交基不太一样，正交基是希望两个向量的点积为0）

我之前以为卷积层的权重都是超定的，后来发现并不是，这里以ShuffleNetV2为例：

首先来看看论文中给出的通道结构图，

1. Stage1$\rightarrow$Stage2存在维数超定的情况，$3*3*24=216$，可以看到在Stage1$\rightarrow$Stage2的过程中，shufflenetv2_2xStage2的维数是244，于是是维数超定的；
2. 一般维数是欠定的，例如前面的0.5x、1x、1.5xStage2维数都小于216，都是欠定的情况。

3.1 总结

无法实现的原因，主要原因是：目前无法找到一个高效率（$O(n^3)$）的算法，来快速生成这样一组分布尽可能均匀的向量。
所以目前使用的一个比较简单容易实现的方法：利用随机分布。

4 PyTorch模块默认初始化方法

Conv2d: init.kaiming_uniform_

Conv2d默认使用的是Kaiming初始化，其代码如下：

def reset_parameters(self) -> None:
        # Setting a=sqrt(5) in kaiming_uniform is the same as initializing with
        # uniform(-1/sqrt(k), 1/sqrt(k)), where k = weight.size(1) * prod(*kernel_size)
        # For more details see: https://github.com/pytorch/pytorch/issues/15314#issuecomment-477448573
        init.kaiming_uniform_(self.weight, a=math.sqrt(5))
        if self.bias is not None:
            fan_in, _ = init._calculate_fan_in_and_fan_out(self.weight)
            bound = 1 / math.sqrt(fan_in)
            init.uniform_(self.bias, -bound, bound)

5 常用权重初始化方法

5.1 torch.nn.init.trunc_normal_()——截断正态分布

trunc_normal一个十分知名的应用就是Vit，所以还是很厉害的；
在看这个初始化函数之前，我们先来回顾一下trunc_normal的数学公式，（这里我们参考的是佛罗里达州立大学开源的 Truncated Normal Distribution的教材——《The Truncated Normal Distribution》by John Burkardt, Florida State University）；

Truncated Normal Distribution

对于 Truncated Normal Distribution，其数学公式如下
$\psi \left(\mu,\sigma,a,b;x\right) = \left\{\begin{matrix} 0 & \text{if}\ x \leq a\\ \frac{\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)}{\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)} & \text{if}\ a <x<b\\ 0 & \text{if}\ b \leq x \end{matrix}\right.$
其中，$\phi(x)$表示标准正态分布（Standard Normal Distribution）的概率密度函数，

6 函数写作模板

这里我们参考李沐老师在课程中讲述的初始化模板进行写作，

7 为什么权重初始化要使用正态分布？

其实这个问题很难回答的，我们不妨从最简单的一步步来看：

7.1 初始化可以将卷积核权重全部设为0吗？

这个显然是不行，如果“权重全部设为0”，那么特征图输出全为0，那么后面的梯度根本无法传递，因为这一层的输出都是0，就没有梯度了！
那么我们继续发散一下，

7.2 可以将卷积核每个通道都设置成一样吗？

这里我们需要通过实验来验证一下，为了使实验更加简单，这里我们选择的是“CIFAR10_world”数据集，（这也是《Deep Learning with PyTorch: A 60 Minute Blitz | Training an image classifier》教程中使用的数据集）；

实验说明：这里我们会将所有参数都设置为相同的值0.0042，然后观察网络是否能够收敛，在没有训练的情况下，精度大概在10%左右；

训练之后的结果如下图所示，

训练后的精度可以达到23%，不过这个跟使用torch默认初始化设置的结果差远了，

为了达到这个结果，我做了几项“艰辛”的设置：

1. 训练epoch数加到42：加长训练周期总会帮助模型渐渐收敛；
2. batch-size加到16：大的batch-size有助于收敛；
3. lr加到0.002：学习率随batch-size提高而增长，使用了“初始学习率线性提升策略”；

Colab代码：【Torch_exp_parameters_all_042】
“训练epoch数增加”会大大延长训练时间，调参实验也花去了很多时间，尽管如此，才把精度提升到23%，说明了参数初始化算法的重要性！
最终证明如下结论：
在参数初始化时卷积核每个通道是可以设置成一样的数值的，甚至于卷积层和全连接层中的每一个参数都可以设置为一样的值，不过这样的设置会使网络的收敛变得极为困难，所以这样的参数初始化是不可取的。