OpenGL进阶(七)-康托尔集谢尔宾斯基地毯 Koch雪花

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拳四郎 2012-12-29 12:10:00 ©著作权

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这一篇关于分形图像，当然只是入门。

分形通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。分形有几种类型，可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。虽然分形是一个数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。

之前有做过一个镂垫的程序,今天要做的是康托集，谢尔宾斯基地毯和Koch雪花。

×××

一维康托集

康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一而得出。首先从区间[0, 1]中去掉中间的三分之一(1/3, 2/3)，留下两条线段：[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段：[0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]。把这个过程一直进行下去。

看程序实现：

void cantuo1(GLfloat *a, GLfloat *b) {      glBegin(GL_LINES);     glVertex3fv(a);     glVertex3fv(b);     glEnd(); }  void divide_cantuo1(GLfloat *a, GLfloat *b, int m) {     cantuo1(a,b);     GLfloat mid[2][3];     if(m>0)        {          /* compute 1/3points */         mid[0][0]=a[0]+(b[0]-a[0])/3.0;         mid[0][1]=(a[1]+b[1])/2.0+0.5;         mid[0][2]=(a[2]+b[2])/2.0;         mid[1][0]=b[0]-(b[0]-a[0])/3.0;         mid[1][1]=(a[1]+b[1])/2.0+0.5;         mid[1][2]=(a[2]+b[2])/2.0;         a[1]+=0.5;         b[1]+=0.5;         /* create 2 part  by subdivision */         divide_cantuo1(mid[1],b, m-1);         divide_cantuo1(a,mid[0], m-1);     } }

divide_cantuo1中，首先将ab直线绘制出来，然后计算出1/3和2/3处的点坐标（y方向要移动0.5个单位），然后在分别绘制起点到1/3处和2/3处到终点的曲线。

cantuo1就是画线函数。

渲染出来看一下：

void renderGL() {     GLfloat a[2][3]={{-3.0, 0.0, 0.0},{3.0, 0, 0}};     // Clear the color and depth buffers.     glClear( GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT );     // We don't want to modify the projection matrix. */     glMatrixMode( GL_MODELVIEW );     glLoadIdentity( );     // Move down the z-axis.     glTranslatef( 0.0, -2.0, -5.0 );     glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);  /* clear the window */     glLineWidth(4.0);     divide_cantuo1(a[0],a[1],5);     SDL_GL_SwapBuffers( ); }

最后的效果是这样：

谢尔宾斯基地毯

谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的。将一个实心正方形划分为的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯。

看代码：

void cantuo2(GLfloat *a, GLfloat *b,GLfloat *c,GLfloat *d ) {     static int i=0;     glBegin(GL_QUADS);     glColor3fv(colors[i++%4]);     glVertex3fv(a);     glVertex3fv(b);     glVertex3fv(c);     glVertex3fv(d);     glEnd(); }  void divide_cantuo2(GLfloat *a, GLfloat *b,GLfloat *c,GLfloat *d,int m) {     GLfloat mid[12][3];     if(m>0)        {         // compute 12 points         mid[0][0]=a[0]+(b[0]-a[0])/3.0;         mid[0][1]=a[1]+(b[1]-a[1])/3.0;         mid[0][2]=0.0;          mid[1][0]=a[0]+2.0*(b[0]-a[0])/3.0;         mid[1][1]=a[1]+2.0*(b[1]-a[1])/3.0;         mid[1][2]=0.0;           mid[2][0]=d[0]+1.0*(a[0]-d[0])/3.0;         mid[2][1]=d[1]+2.0*(a[1]-d[1])/3.0;         mid[2][2]=0.0;          mid[3][0]=a[0]+(b[0]-a[0])/3.0;         mid[3][1]=d[1]+2.0*(a[1]-d[1])/3.0;         mid[3][2]=0.0;          mid[4][0]=a[0]+2.0*(b[0]-a[0])/3.0;         mid[4][1]=d[1]+2.0*(a[1]-d[1])/3.0;         mid[4][2]=0.0;          mid[5][0]=c[0]+2.0*(b[0]-c[0])/3.0;         mid[5][1]=c[1]+2.0*(a[1]-d[1])/3.0;         mid[5][2]=0.0;          mid[6][0]=d[0]+(a[0]-d[0])/3.0;         mid[6][1]=d[1]+(a[1]-d[1])/3.0;         mid[6][2]=0.0;          mid[7][0]=a[0]+(b[0]-a[0])/3.0;         mid[7][1]=d[1]+(a[1]-d[1])/3.0;         mid[7][2]=0.0;          mid[8][0]=a[0]+2.0*(b[0]-a[0])/3.0;         mid[8][1]=d[1]+(a[1]-d[1])/3.0;         mid[8][2]=0.0;          mid[9][0]=c[0]+2.0*(b[0]-c[0])/3.0;         mid[9][1]=d[1]+(a[1]-d[1])/3.0;         mid[9][2]=0.0;          mid[10][0]=a[0]+(b[0]-a[0])/3.0;         mid[10][1]=d[1]+(c[1]-d[1])/3.0;         mid[10][2]=0.0;          mid[11][0]=a[0]+2.0*(b[0]-a[0])/3.0;         mid[11][1]=d[1]+2.0*(c[1]-d[1])/3.0;         mid[11][2]=0.0;         /* create 9 part  by subdivision */         divide_cantuo2(a,mid[0],mid[3],mid[2], m-1);         divide_cantuo2(mid[0],mid[1],mid[4],mid[3],m-1);         divide_cantuo2(mid[1],b,mid[5],mid[4],m-1);         divide_cantuo2(mid[2],mid[3],mid[7],mid[6],m-1);         //divide_cantuo2(mid[3],mid[4],mid[8],mid[7],m-1);         divide_cantuo2(mid[4],mid[5],mid[9],mid[8],m-1);         divide_cantuo2(mid[6],mid[7],mid[10],d,m-1);         divide_cantuo2(mid[7],mid[8],mid[11],mid[10],m-1);         divide_cantuo2(mid[8],mid[9],c,mid[11],m-1);         printf("m:%d\n",m);     }     else     cantuo2(a,b,c,d); }

这次divide_cantuo2函数需要找的是12个点，建议在纸上面画一下。

cantuo2就是画矩形。

渲染一下：

void renderGL() {     GLfloat a[4][3]={{-3.0, 3.0, 0.0},{3.0, 3.0, 0},{3.0, -3.0, 0.0},{-3.0, -3.0, 0}};     // Clear the color and depth buffers.     glClear( GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT );     // We don't want to modify the projection matrix. */     glMatrixMode( GL_MODELVIEW );     glLoadIdentity( );     // Move down the z-axis.     glTranslatef( 0.0, 0.0, -6.0 );     glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);  /* clear the window */     divide_cantuo2(a[0],a[1],a[2],a[3],2);     SDL_GL_SwapBuffers( ); }

当然，可以改变迭代次数和绘制的颜色。

Koch雪花

给定线段AB，科赫曲线可以由以下步骤生成：
将线段分成三等份（AC,CD,DB）
以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角形DMC
将线段CD移去
分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
科赫雪花是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的。。每条科赫曲线的长度是无限大，它是连续而无处可微的曲线。

代码实现：

void Koch(GLfloat *a, GLfloat *b) {     static int i=0;     glBegin(GL_LINES);     glColor3fv(colors[i++%4]);     glVertex3fv(a);     glVertex3fv(b);     glEnd(); }  void divideKoch(GLfloat *a, GLfloat *b,int m) {     float length= sqrt(pow(a[0] - b[0],2) + pow(a[1] - b[1],2))/3;     printf("length:%f\n",length);     GLfloat mid[3][3];     if(m>0)        {         // compute 3 points         mid[0][0]=a[0]+(b[0]-a[0])/3.0;         mid[0][1]=a[1]+(b[1]-a[1])/3.0;         mid[0][2]=0.0;          mid[1][0]=b[0]-(b[0]-a[0])/3.0;         mid[1][1]=b[1]-(b[1]-a[1])/3.0;         mid[1][2]=0.0;         double alpha = 0.0;         if (b[1]>= a[1]) 		{ 			alpha = atan((double) (b[1]-a[1]) / (b[0]-a[0])); 			if (b[0]>a[0]) 			{ 				mid[2][0] = mid[0][0] + length * cos(alpha + PI / 3); 				mid[2][1] = mid[0][1] + length  * sin(alpha + PI / 3); 			} 			else 			{ 				mid[2][0] = mid[0][0] - length * cos(alpha + PI / 3); 				mid[2][1] = mid[0][1] - length * sin(alpha + PI / 3); 			} 		} 		else 		{ 			alpha = atan((double) (a[1] - b[1]) / (b[0] - a[0]) ); 			if (b[0]>a[0]) 			{ 				mid[2][0] = mid[1][0] - length * cos(alpha + PI / 3); 				mid[2][1] = mid[1][1] + length * sin(alpha + PI / 3); 			} 			else 			{ 				mid[2][0] = mid[1][0] + length * cos(alpha + PI / 3); 				mid[2][1] = mid[1][1] - length * sin(alpha + PI / 3); 			} 		}          /* create 9 part  by subdivision */         divideKoch(a,mid[0], m-1);         divideKoch(mid[0],mid[2],m-1);         divideKoch(mid[2],mid[1],m-1);         divideKoch(mid[1],b,m-1);         printf("m:%d\n",m);     }     else     Koch(a,b); }

divideKoch只是对一条直线进行分形。思路就是找到线的1/3，2/3处点的坐标，还有中间生成的等边三角形的一个顶点，然后对生成的每一条边都进行迭代。

渲染一个雪花：

void renderGL() {     //Define a triangle in space     GLfloat a[3][3]={{-3.0, 0.0, 0.0},{3.0, 0.0, 0},{0.0, 5.196, 0.0}};     // Clear the color and depth buffers.     glClear( GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT );     // We don't want to modify the projection matrix. */     glMatrixMode( GL_MODELVIEW );     glLoadIdentity( );     // Move down the z-axis.     glTranslatef( 0.0, -2.0, -9.0 );     glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);  /* clear the window */     //Koch(a[0],a[1]);     divideKoch(a[1],a[0],6);     divideKoch(a[2],a[1],6);     divideKoch(a[0],a[2],6);     SDL_GL_SwapBuffers( ); }

结果：