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codeforces 487C

题目大意：

要求找出一个1~n排列的排列，通过
bi=(∏ij=1ai)%n构成一个新的0~n-1的排列。

题目分析：

  • 首先我们必须让n位于最后，否则会过早的导致前缀积能够整除n，导致一定不能得到合法的排列，因为合数一定可以分解为p*q,所以会导致pq|(n-1)!，4和1是特例需要特判。
  • 然后我们考虑(i+1)⋅inv[i]，因为$(i+1) \cdot inv[i] == (j+1) \cdot inv[j] , 当且仅当i == j ￥
  • 证明如下： (i+1)⋅inv[i]=(j+1)⋅inv[j]⇒i⋅j⋅(i+1)⋅inv[i]=i⋅j⋅(j+1)⋅inv[j]⇒j⋅(i+1)=i⋅(j+1)⇒i⋅j+j=i⋅j+i⇒i=j
  • 那么我们知道利用(i+1)*inv[i]能够构成一个排列。
  • 那么这个排列的前缀积就是展开如下：
    a1⋅a2⋯ai=1⋅inv[1]⋅2⋯inv[i−2]⋅(i−1)⋅inv[i−1]⋅i=i(错相相乘，根据逆元性质相消)
    所以得到的依旧是一个排列符合题目要求的性质。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define MAX 100007

using namespace std;

typedef long long LL;

LL inv[MAX];
int n;

int main ( )
{
    while ( ~scanf ( "%d" , &n ) )
    {
        if ( n == 1 )
        {
            puts ( "YES");
            puts ( "1" );
        }
        else if ( n == 4 )
        {
            puts ( "YES" );
            puts ( "1\n3\n2\n4" );
        }
        else 
        {
            bool flag = true;
            for ( int i = 2 ; i*i <= n ; i++ )
                if ( n%i == 0 ) flag = false;
            if ( flag ) 
            {
                puts ( "YES" );
                puts ( "1" );
                inv[1] = 1;
                for ( int i = 2 ; i < n ; i++ )
                {
                    inv[i] = (LL)(n-n/i)*inv[n%i]%n;
                    printf ( "%I64d\n" , (LL)(i)*inv[i-1]%n );
                }
                printf ( "%d\n" , n );
            }
            else puts ( "NO" );
        }
    }
}