【何谓包络线】
这个问题的由来是一个小时候的游戏，取一张圆形的纸，在圆内任取一点，折起纸来，让圆周落在这点上，重复一圈，会发现折线围成一个椭圆形状。
学了解析几何后，此问题可归纳为：F为圆内任一一点，A为圆周上一点，AF连线的中垂线交圆周与CD两点，求CD围成的图形形状。
【关键点】
使用解析几何方法求出FA中垂线与圆的交点，应用中学数学知识就可做到。
值得注意的是：在纸上运算，我们总习惯把系数带到最后一步去，但在编程中，如果系数较多，中间变量及时先求出来比较好，在代码中更简洁省事。
【图示】
【代码】
<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
<title>使用HTML5/Canvas绘制圆形中运动的包络线,明显包络线是椭圆。</title>
<style type="text/css">
.centerlize{
margin:0 auto;
width:1200px;
}
</style>
</head>
<body onload="init();">
<div class="centerlize">
<canvas id="myCanvas" width="12px" height="12px" style="border:1px dotted black;">
如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
</canvas>
</div>
</body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码(从<!DOCTYPE到script>)拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，
* 另存为.html文件，再用chrome浏览器打开，就能看到实现效果。
******************************************************************/
// canvas的绘图环境
var ctx;
// 高宽
const WIDTH=512;
const HEIGHT=512;
const RADIUS=240;
// 舞台对象
var stage;
//-------------------------------
// 初始化
//-------------------------------
function init(){
// 获得canvas对象
var canvas=document.getElementById('myCanvas');
canvas.width=WIDTH;
canvas.height=HEIGHT;
// 初始化canvas的绘图环境
ctx=canvas.getContext('2d');
ctx.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);// 原点平移到画布中央
// 准备
stage=new Stage();
stage.init();
// 开幕
animate();
}
// 播放动画
function animate(){
stage.update();
stage.paintBg(ctx);
stage.paintFg(ctx);
// 循环
if(true){
sleep(100);
window.requestAnimationFrame(animate);
}
}
// 舞台类
function Stage(){
this.f={"x":-125,"y":125};
this.arr=new Array();
this.theta=0;
this.pa={};
// 初始化
this.init=function(){
}
// 更新
this.update=function(){
this.theta+=Math.PI/180;
this.pa.x=RADIUS*Math.cos(this.theta);
this.pa.y=RADIUS*Math.sin(this.theta);
// 计算FA中垂线与圆的交点
if(this.pa.y==this.f.y){
// 中垂线平行Y轴时
var x=(this.pa.x+this.f.x)/2;
var y=Math.sqrt(RADIUS*RADIUS-x*x);
var p1=createPt(x,y);
var p2=createPt(x,-y);
// 放入数组
this.arr.push({"p1":p1,"p2":p2});
}else{
// 中垂线不平行Y轴时
var k1=(this.pa.y-this.f.y)/(this.pa.x-this.f.x);
var k=-1/k1;
// 算中点，注意单字母远比字母数字组合要优越
var m=(this.pa.x+this.f.x)/2;
var n=(this.pa.y+this.f.y)/2;
// 算直线方程的b值
var j=n-k*m;
// 算一元二次方程的abc三值
var a=k*k+1;
var b=2*k*j;
var c=j*j-RADIUS*RADIUS;
// 算一元二次方程的delta
var delta=Math.sqrt(b*b-4*a*c);
// 第一根
var x1=(-b+delta)/a/2;
var y1=k*(x1-m)+n;
var p1=createPt(x1,y1);
// 第二根
var x2=(-b-delta)/a/2;
var y2=k*(x2-m)+n;
var p2=createPt(x2,y2);
// 放入数组
this.arr.push({"p1":p1,"p2":p2});
}
// 保持数组容量，多了从头里删掉
if(this.arr.length>360){
this.arr.splice(0,1);
}
}
// 画背景
this.paintBg=function(ctx){
ctx.clearRect(-WIDTH/2,-HEIGHT/2,WIDTH,HEIGHT);// 清屏
// 背景色
ctx.fillStyle="white";
ctx.fillRect(-WIDTH/2,-HEIGHT/2,WIDTH,HEIGHT);
// 背景圆
ctx.beginPath();
ctx.arc(0,0,RADIUS,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.lineWidth=0.2;
ctx.strokeStyle="black";
ctx.stroke();
// F
ctx.beginPath();
ctx.arc(this.f.x,this.f.y,2,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle="black";
ctx.stroke();
writeText(ctx,this.f.x,this.f.y,"F","16px consolas","black");
// O
ctx.beginPath();
ctx.arc(0,0,2,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle="black";
ctx.stroke();
writeText(ctx,0,0,"O","16px consolas","black");
// A
ctx.beginPath();
ctx.arc(this.pa.x,this.pa.y,2,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle="black";
ctx.stroke();
writeText(ctx,this.pa.x,this.pa.y,"A","16px consolas","black");
// AO连线
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(0,0);
ctx.lineTo(this.pa.x,this.pa.y);
ctx.lineWidth=0.2;
ctx.strokeStyle="green";
ctx.stroke();
// AF连线
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(this.f.x,this.f.y);
ctx.lineTo(this.pa.x,this.pa.y);
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle="black";
ctx.stroke();
writeText(ctx,WIDTH/2-30,HEIGHT/2-10,"逆火原创","8px consolas","black");// 版权
}
// 画前景
this.paintFg=function(ctx){
for(var i=0;i<this.arr.length;i++){
var c=this.arr[i].p1;
var d=this.arr[i].p2;
// CD连线
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(c.x,c.y);
ctx.lineTo(d.x,d.y);
ctx.lineWidth=0.2;
ctx.strokeStyle="black";
ctx.stroke();
}
var c=this.arr[this.arr.length-1].p1;
var d=this.arr[this.arr.length-1].p2;
// c
ctx.beginPath();
ctx.arc(c.x,c.y,2,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle="blue";
ctx.stroke();
writeText(ctx,c.x,c.y,"C","16px consolas","blue");
// d
ctx.beginPath();
ctx.arc(d.x,d.y,2,0,Math.PI*2,false);
ctx.closePath();
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle="blue";
ctx.stroke();
writeText(ctx,d.x,d.y,"D","16px consolas","blue");
// CD连线
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(c.x,c.y);
ctx.lineTo(d.x,d.y);
ctx.lineWidth=0.5;
ctx.strokeStyle="blue";
ctx.stroke();
}
}
/*----------------------------------------------------------
函数:书写文字
ctx:绘图上下文
x:横坐标
y:纵坐标
text:文字
font:字体
color:颜色
----------------------------------------------------------*/
function writeText(ctx,x,y,text,font,color){
ctx.save();
ctx.textBaseline="bottom";
ctx.textAlign="center";
ctx.font = font;
ctx.fillStyle=color;
ctx.fillText(text,x,y);
ctx.restore();
}
/*----------------------------------------------------------
函数:创建一个二维坐标点
x:横坐标
y:纵坐标
Pt即Point
----------------------------------------------------------*/
function createPt(x,y){
var retval={};
retval.x=x;
retval.y=y;
return retval;
}
/*----------------------------------------------------------
函数:延时若干毫秒
milliseconds:毫秒数
----------------------------------------------------------*/
function sleep(milliSeconds) {
const date = Date.now();
let currDate = null;
while (currDate - date < milliSeconds) {
currDate = Date.now();
}
}
/*-------------------------------------------------------------
我希望我老了，去徒步去露营，然后，一睡不醒，死在旅途上，无需
落叶归根，无所谓曝尸荒野，是尘归尘土归土...
不想让那些发死人财的赚半分黑钱。
--------------------------------------------------------------*/
//-->
</script>
