机器学习 线性回归代码 线性回归算法实现

1. 线性回归： 寻找一种能预测的趋势, 线性回归通过一个或者多个自变量（特征值）与因变量（目标值）之间进行建模的回归分析

1.1. 线性关系

• 二维：直线关系
• 三维：特征， 目标值， 平面当中

1.2. 线性关系定义

• 单个特征

• y = kx + b 加b是为了对于单个特征的情况更加通用

• 多个特征

• y = k1房子面积 + k2房子位置 + b

1.3. 线性模型

• f(x) = w1 * x1 + w2 * x2 +... + wd * xd + b = wT * x, 其中w为权重， b称为偏置项， 可以理解为 w0 x 1，

2. 数组和矩阵的对比

2.1. 数组

• 0维：5
• 1维：[5,2,1]
• 2维：[[5,2,1],[1,2,3]] [[5,2,1]]
• 3维：[[[]]] [[[5,2,1]]]
• 数组的运算 加法 乘法
• 数组在numpy中以ndarray存在,在运算上可以理解为两者是一样的

2.2. 矩阵

• 大多数算法计算的基础， 矩阵乘法必须是二维的
• 矩阵乘法：满足了特定运算需求

• （m行，l列）*（l行，n列）= （m行，n列）

2.3. 代码实现

import numpy as np

a = [[1,2,3,4],[5,6,7,8],[2,3,7,9]]
b = [2,2,2,2]
# 数组的乘法（广播机制）
np.multiply(a, b)
# 矩阵的乘法，必须是二维的
c = [[2],[2],[2],[2]]
np.dot(a, c)

3. 损失函数（误差大小）

3.1. 回归是一种迭代算法

3.2. 最小二乘法

• yi为第i个训练样本的真实值
• hw（xi）为第i个训练样本特征值组合预测函数
• 总损失定义：
  J(θ) = (hw(x1) - y1)2 + (hw(x1) - y1)2 + … + (hw(xm) - ym)2， （尽量去减少这个损失）

3.3. 优化损失函数

• 目的：

• 通过迭代，找到模型中最优的w值，使得损失函数最小

• 方法：

• 正规方程（不做要求）

• 缺点： 当特征过于复杂， 求解速度太慢，对于复杂的算法， 不能使用正规方程求解（逻辑回归等）
• 一次运算得出， 小数据集可以使用（<10000）
• 不能解决拟合问题

• 梯度下降（重要）

• 理解： 沿着损失函数下降的方向找，就能够找到山谷的最低点， 然后更新w的值。 学习速率α需要手动指定
• 使用：面对训练数据规模十分庞大的任务
• 不断迭代

• 回归系数coef_指的就是w

4. sklearn线性回归正规方程、梯度下降API

4.1. 正规方程

• sklearn.linear_model.LinearRegression

4.2. 梯度下降

• sklearn.liner_model.SRDRegressor

4.3. 波士顿房价数据案例分析流程

• 波士顿地区房价数据获取
• 波士顿地区房价数据分割
• 训练与测试数据标准化处理
• 使用最简单的线性回归模型LinearRegression和梯度下降估计SGDRegressor对房价进行预测

5. 回归行能评估

• 均方误差（Mean Squared Error）

• 公式：MES = ( (y1 - yx)^2 + (y2 - yx)^2 + ... + (ym - yx)^2 ) / m 注意： ym为预测值， yx为真实值
• API：sklearn.metrics.mean_squared_error

• mean_squared_error(y_true,y_pred)

• 均方误差回归损失
• y_true:真实值
• y_pred:预测值
• return:浮点数结果

• 注意：真实值，预测值为标准化之前的值

6. 代码实现

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression, SGDRegressor
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 获取数据
lb = load_boston()

# 分割数据集到训练集和测试集
x_train,x_test, y_train, y_test = train_test_split(lb.data, lb.target, test_size=0.25)

# 进行标准化处理
std_x = StandardScaler()
x_train = std_x.fit_transform(x_train)
x_test = std_x.transform(x_test)

std_y = StandardScaler()
y_train = std_y.fit_transform(y_train.reshape(-1, 1))
y_test = std_y.transform(y_test.reshape(-1, 1))

# estimator预测
# 正规方程求解预测结果
lr = LinearRegression()
lr.fit(x_train, y_train)
print(lr.coef_)
# 预测测试集的房子价格
y_predict = std_y.inverse_transform(lr.predict(x_test))
print(y_predict)
print("正规方程的均方误差：", mean_squared_error(y_true=std_y.inverse_transform(y_test), y_pred=y_predict))

# 梯度下降求解预测结果
sgd = SGDRegressor()
sgd.fit(x_train, y_train.reshape(-1, ))
print(sgd.coef_)
# 预测测试集的房子价格
y_predict = std_y.inverse_transform(sgd.predict(x_test))
print(y_predict)

print("梯度下降的均方误差：", mean_squared_error(y_true=std_y.inverse_transform(y_test), y_pred=y_predict))

7. 过拟合和欠拟合

• 过拟合

• 一个假设在训练数据上能够获得比其他假设更好的拟合，但是在训练数据外的数据集上却不能很好地拟合数据，此时认为这个假设出现了过拟合的现象。(模型过于复杂)

• 模型复杂的原因：数据的特征和目标值之间的关系不仅仅是线性关系

• 原因：原始特征过多，存在一些嘈杂特征，模型过于复杂是因为模型尝试去兼顾各个测试数据点
• 解决办法：

• 进行特征选择，消除关联性大的特征(很难做)
• 交叉验证(让所有数据都有过训练)， 没有解决过拟合问题，能够检验
• 正则化

• 尽可能减小高次项特征的影响

• 欠拟合

• 一个假设在训练数据上不能获得更好的拟合，但是在训练数据外的数据集上也不能很好地拟合数据，此时认为这个假设出现了欠拟合的现象。(模型过于简单)
• 原因： 学习到数据的特征过少
• 解决办法：增加数据的特征数量

8. 带有正则化的线性回归-Ridge

• 正则化：尽量减少高次项的影响
• L2正则化：可以使得W的每个元素都很小，都接近于0
• 优点：越小的参数说明模型越简单，越简单的模型则越不容易产生过拟合现象
• 岭回归Ridge

• sklearn.linear_model.Ridge(alpha=1.0)

• 具有l2正则化的线性最小二乘法
• alpha:正则化力度
• coef_:回归系数

• 代码实现

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression, SGDRegressor, Ridge
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 获取数据
lb = load_boston()

# 分割数据集到训练集和测试集
x_train,x_test, y_train, y_test = train_test_split(lb.data, lb.target, test_size=0.25)

# 进行标准化处理
std_x = StandardScaler()
x_train = std_x.fit_transform(x_train)
x_test = std_x.transform(x_test)

std_y = StandardScaler()
y_train = std_y.fit_transform(y_train.reshape(-1, 1))
y_test = std_y.transform(y_test.reshape(-1, 1))

# estimator预测
# 正规方程求解预测结果
lr = LinearRegression()
lr.fit(x_train, y_train)
print(lr.coef_)
# 预测测试集的房子价格
y_predict = std_y.inverse_transform(lr.predict(x_test))
print(y_predict)
print("正规方程的均方误差：", mean_squared_error(y_true=std_y.inverse_transform(y_test), y_pred=y_predict))

# 梯度下降求解预测结果
sgd = SGDRegressor()
sgd.fit(x_train, y_train.reshape(-1, ))
print(sgd.coef_)
# 预测测试集的房子价格
y_predict = std_y.inverse_transform(sgd.predict(x_test))
print(y_predict)

print("梯度下降的均方误差：", mean_squared_error(y_true=std_y.inverse_transform(y_test), y_pred=y_predict))

# 岭回归求解预测结果
rd = Ridge()
rd.fit(x_train, y_train.reshape(-1, ))
print(rd.coef_)
# 预测测试集的房子价格
y_predict = std_y.inverse_transform(rd.predict(x_test))
print(y_predict)

print("岭回归的均方误差：", mean_squared_error(y_true=std_y.inverse_transform(y_test), y_pred=y_predict))

• 线性回归 LinearRegression与Ridge对比

• 岭回归：回归得到的回归系数更符合实际，更可靠。另外，能让估计参数的波动范围变小，变的更稳定。在存在病态数据偏多的研究中有较大的实用价值。

9. 模型的保存于加载

• 保存模型

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression, SGDRegressor, Ridge
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.externals import joblib

# 获取数据
lb = load_boston()

# 分割数据集到训练集和测试集
x_train,x_test, y_train, y_test = train_test_split(lb.data, lb.target, test_size=0.25)

# 进行标准化处理
std_x = StandardScaler()
x_train = std_x.fit_transform(x_train)
x_test = std_x.transform(x_test)

std_y = StandardScaler()
y_train = std_y.fit_transform(y_train.reshape(-1, 1))
y_test = std_y.transform(y_test.reshape(-1, 1))

# 岭回归求解预测结果
rd = Ridge()
rd.fit(x_train, y_train.reshape(-1, ))
print(rd.coef_)
# 预测测试集的房子价格
y_predict = std_y.inverse_transform(rd.predict(x_test))
print(y_predict)

print("岭回归的均方误差：", mean_squared_error(y_true=std_y.inverse_transform(y_test), y_pred=y_predict))
# 保存模型
joblib.dump(rd, "./tmp/test.pkl")

• 加载模型

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression, SGDRegressor, Ridge
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.externals import joblib

# 获取数据
lb = load_boston()

# 分割数据集到训练集和测试集
x_train,x_test, y_train, y_test = train_test_split(lb.data, lb.target, test_size=0.25)

# 进行标准化处理
std_x = StandardScaler()
x_train = std_x.fit_transform(x_train)
x_test = std_x.transform(x_test)

std_y = StandardScaler()
y_train = std_y.fit_transform(y_train.reshape(-1, 1))
y_test = std_y.transform(y_test.reshape(-1, 1))

# 加载保存模型
model = joblib.load("./tmp/test.pkl")
model.fit(x_train, y_train.reshape(-1, ))
print(model.coef_)

# 预测测试集的房子价格
y_predict = std_y.inverse_transform(model.predict(x_test))
print(y_predict)

print("加载保存模型岭回归的均方误差：", mean_squared_error(y_true=std_y.inverse_transform(y_test), y_pred=y_predict))