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​​简介​​​​假设条件与原理​​


简介

经验模态分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)算法是由 NE. Huang 等人提出的一种将信号分解成特征模态的方法。它的优点是不会运用任何已经定义好的函数作为基底，而是根据所分析的信号而自适应生成固有模态函数。可以用于分析非线性、非平稳的信号序列，具有很高的信噪比和良好的时频聚焦性。

假设条件与原理

假设条件

要进行EMD分解时有几个假设条件：

1）信号至少存在两个极值点，一个极大值，一个极小值；

2）时间尺度特性是由两个极值点之间的时间尺度确定的。

EMD分解的目的是将一个信号f(t) f(t)f(t)分解为N个固有模态函数（Intrinsic Mode Function, IMF）和一个残差（residual）。其中，每个IMF需要满足一下两个条件：

1）在整个数据范围内，局部极值点和过零点的数目必须相等，或者相差数目最多为1；

2）在任意时刻，局部最大值的包络（上包络线）和局部最小值的包络（下包络线）的平均值必须为零。

基本原理

EMD算法的基本原理为：

a. 找到原始信号 X ( t ) X(t) X(t)的极大值和极小值点，然后通过曲线插值方法对这些极值点进行拟合，得到信号的上包络线 X m a x ( t ) X_{max}(t) Xmax​(t)和下包络线

X m i n ( t ) X_{min}(t) Xmin​(t)。

b. 对上下包路线求平均值：

m 1 ( t ) = X m a x ( t ) + X m i n ( t ) 2 (1) m_1(t)=\frac{X_{max}(t)+X_{min}(t)}{2} \tag{1} m1​(t)=2Xmax​(t)+Xmin​(t)​(1)

c. 对原始信号 X ( t ) X(t) X(t)与平均包络 m 1 ( t ) m_1(t) m1(t)进行相减，得到余下信号 d 1 ( t ) d_1(t) d1(t)。一般情况下，对于平稳信号而言，它是原始信号 X ( t ) X(t) X(t)的第一个模态函数(IMF)。但对于非平稳信号，信号的并不是在某一个区域内单调递增的，而是会出现拐点。这些能反映原始信号 X ( t ) X(t) X(t)的具体特征的拐点若未被选中，则得到的第一阶模态函数并不准确，也就是通常得到的 d 1 ( t ) d_1(t) d1(t)并不满足IMF的两个条件，所以需要继续进行筛选。

d. 对余下信号 d 1 ( t ) d_1(t) d1​(t)进行步骤a到步骤c的处理，直到SD(筛分门限值，一般取值0.2-0.3)小于门限值时才停止，这样得到最终合适的第一阶模态分量 c 1 ( t ) c_1(t) c1​(t)，即第一个IMF。其中SD求法如下：

S D = ∑ t = 0 T [ ∣ d k − 1 ( t ) − d k ( t ) ∣ 2 d k − 1 2 ( t ) ] SD=\sum_{t=0}^{T}[\frac{|d_{k-1}(t)-d_{k}(t)|^{2}}{d_{k-1}^{2}(t)}] SD=t=0∑T​[dk−12​(t)∣dk−1​(t)−dk​(t)∣2​]

e. 对信号 X ( t ) X(t) X(t)与 c 1 ( t ) c_1(t) c1​(t)求差，得到第一阶残差量 r 1 ( t ) r_1(t) r1​(t)，将 r 1 ( t ) r_1(t) r1​(t)替代原始信号 X ( t ) X(t) X(t)进行步骤a到e的处理，重复 n n n次后可获取第 n n n阶模态函数 c n ( t ) cn(t) cn(t)和最终符合标准的残差量 r n ( t ) r_n(t) rn​(t)。原始信号 X ( t ) X(t) X(t)经EMD分解的表达式为：

X ( t ) = ∑ 1 n c n ( t ) + r n ( t ) (2) X(t)=\sum_{1}^{n}c_{n}(t)+r_{n}(t) \tag{2} X(t)=1∑n​cn​(t)+rn​(t)(2)

EMD的优缺点

EMD方法有以下几个特点:

1.自适应性


基函数的自动产生
与小波变换一个很大的区别是：小波变换时需要预先选择小波基，而EMD方法不需要，根据数据本身来分解。



自适应的滤波特性
EMD由不等带宽的IMF分量c1,c2…cn组成而成。这些分量的频率是从高到底排列的，信号不同频率带宽也不同。因此，EMD可看作一组自适应高通滤波，信号不同，截止频率和带宽也不同。然而在小波分解中，获得的时域波形是由小波分解尺度决定的。



自适应的多分辨率
通过EMD得到的IMF所包含的特征时间尺度不同，说明信号可以用不同的分辨率来表达。


2.完备性


信号分解的完备性是指,把分解后的各个分量相加能够获得原信号的性质。


存在的问题

EMD算法能将原始信号不断进行分解，获取符合一定条件下的IMF分量。这些 IMF 分量之间的频率往往不同，这就为其在谐波检测方向的使用提供了一种思路。EMD 算法以其正交性、收敛性等特点被广泛用于信号处理等领域，但并不像小波分析或者神经网络那样，有固定的数学模型，因此它的一些重要性质仍还没有通过缜密的数学方法证明出。而且对模态分量 IMF 的定义也尚未统一，仅能从信号的零点与极值点的联系与信号的局部特征等综合描述。EMD 从理论到实际运用仍有很长的一段路要走。EMD 具体的不足体现在以下几个方面:


  2. IMF 分解时存在着模态混叠现象，也就是说一个IMF中会包含不同时间尺度的特征成分。一方面是由于信号本身的原因，另一方面是EMD算法本身的缺陷。
  3. 在分解出IMF的过程中需要迭代很多次，而停止迭代的条件缺乏一个标准，所以不同的停止迭代的条件得到的IMFs也是不同的。

参考：

《基于WNN和EEMD的电网谐波检测方法研究》

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经验模式分解EMD算法原理_脑机接口