emd经验模态分解算法

Empirical Mode Decomposition

参考文献：The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis

背景

信号分析中常用的傅里叶分析方法只能处理线性的，周期的或者稳定的信号。否则得到的结果将没有实际的物理意义。遂Huang提出一种适应非线性，不稳定信号的分解方法，且分解结果能够满足希尔伯特变换的要求。

特性

EMD 是基于数据的局部特征时间尺度来提取特征的，因此具有良好的自适应性。不同时间尺度上的特征通过不同的本征模函数（Intrinsic Mode Function）来表示。同时，EMD 方法无需定义基函数。

缺陷

当原始信号中，有特征是间歇性出现时，EMD方法可能会出现模态混叠的情况——一个IMF中包含多个时间尺度的特征。

IMF

为使的希尔伯特变换后得到的信号计算的瞬时频率具有物理意义。需要对输入数据进行限制。由此定义了IMF。两个限制如下：1）在整个数据集中，零点数量与极值点的数量相差至多为一个。（2）在任意点，由局部最大定义的包络线（由三次样条差值法得到）与由局部最小定义的包络线的均值要等于零，即上下包络线是对称的。

上图是一个典型的IMF图像。图片来源于参考文献。

假设

EMD 算法是在如下假设基础上运算的：（1）信号必须包含一个极大值与一个极小值。（2）特征时间尺度由极值间的时间决定。（3）如果数据只包含拐点而没有极值点，则能够通过一次或多次微分得到极值点。

算法过程

• 通过三次样条差值法求输入信号的上下包络线
• 计算两个包络线的均值
• 用信号减去该均值得到差值
• 判断差值是否符合IMF定义
• 符合则得到一个IMF
• 否则将差值做为输入信号重复上述过程

上述为一次筛选过程，每次筛选得到一个IMF。整体的流程表示如下：

$\begin{aligned} sifting(X(t)) = c_1\gets\text{imf}\\ X(t) - c_1 = r_1\\ sifting(r_1) = c_2\\ r_1 - c_2 = r_2\\ sifting(r_2) = c_3\\ \text{repeat...}\\ \text{finally\ }X(t) = \sum_{i=1}^nc_i + r_n \end{aligned}$

上述过程中$sifting()$表示对输入信号进行筛选，$X(t)$为原始信号，$c_i$是每次筛选得到的IMF，$r_i$是做差得到的残余量。整个循环过程中，当得到的IMF过小或者残余量$r$（每次输入信号减去IMF后的差值）是单调函数时结束循环。当信号$X(t)$具有某种趋势时，最终的残余量$r_n$会表现出这种趋势。