2-范数的概念
2-范数（Euclidean norm），也常称为“欧几里得范数”，是在向量空间中衡量向量大小的一种方法。在数学上，对于一个实数或复数向量，2-范数定义为其各元素的平方和的平方根。对于一个n维向量( \vec{x} = [x_1, x_2, …, x_n] )，其2-范数可以表示为：
[ |\vec{x}|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + … + x_n^2} ]
2-范数提供了一个度量，即从原点到向量表示点的直线距离，这也是在欧几里得空间中最直观的长度概念。
2-范数的实例
假设我们有一个三维空间中的向量 ( \vec{v} = [3, 4, 5] )。我们可以将这个向量视为从原点（0, 0, 0）到点（3, 4, 5）的一个箭头。计算这个向量的2-范数，实际上就是在计算原点到点（3, 4, 5）的直线距离。根据勾股定理，这个距离就是 ( \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} )。
Python 演示
在Python中，可以使用NumPy库来计算向量的2-范数，其函数 numpy.linalg.norm 默认计算的就是2-范数。
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Feb 22 11:38:50 2024
@author: 李立宗
公众号：计算机视觉之光
知识星球：计算机视觉之光
"""
import numpy as np
# 定义一个向量
vector = np.array([3, 4, 5])
# 计算2-范数
norm2 = np.linalg.norm(vector)
print("2-范数:", norm2)输出
执行上述代码，会打印出向量的2-范数，即直线距离。
2-范数的应用
2-范数在数学、物理、工程、计算机科学等多个领域都有广泛的应用。例如，在机器学习中，2-范数常被用来衡量模型参数向量的大小，作为正则化项添加到损失函数中，以防止模型过拟合。在物理学中，2-范数用于计算速度或加速度向量的大小。在计算机图形学中，2-范数用于计算点或者物体之间的距离。
结论
2-范数是一个基本的数学概念，它在实际问题的建模和解决过程中扮演着重要的角色。了解2-范数的定义、计算方法以及应用场景，对于在科学研究和工程实践中准确表达和处理数据至关重要。通过Python等编程语言的辅助，我们可以快速而准确地计算出2-范数，并将其应用于各种问题的解决中。
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