最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。具体来说，它可以用于线性回归分析，即找到一条最佳拟合直线（或更一般的曲线或面），使得实际观察数据点到这条直线（或曲线/面）的垂直距离（也就是误差）的平方和达到最小。
在数学表示上，如果有一组观测数据集((x_i, y_i))，其中(i = 1, 2, …, n)，最小二乘法旨在找到一个模型(y = f(x, \beta))，其参数(\beta)可以使得残差平方和（RSS）最小：
[ RSS = \sum_{i=1}^{n} [y_i - f(x_i, \beta)]^2 ]
对于线性回归问题，模型可以简化为：
[ y = \beta_0 + \beta_1 x ]
此处的目标是找到(\beta_0)和(\beta_1)的值，使得RSS最小。
具体数值举例：
假设我们有以下一组数据：
x | y |
1.0 | 1.5 |
2.0 | 2.0 |
3.0 | 2.5 |
我们希望找到一条直线(y = \beta_0 + \beta_1 x)来最好地拟合这些数据。手工计算会涉及到设置RSS的偏导数等于0的方程组来解析求解(\beta_0)和(\beta_1)。使用最小二乘法后可能得到的拟合直线参数是(\beta_0 = 1)和(\beta_1 = 0.5)。
Python模拟实现：
在Python中，我们可以利用numpy库来实现最小二乘法的线性回归分析：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sun Feb 25 08:49:15 2024
@author: 李立宗
公众号：计算机视觉之光
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 示例数据
x = np.array([1, 2, 3])
y = np.array([1.5, 2.0, 2.5])
# 使用numpy的polyfit函数进行最小二乘线性回归
# 这里的1表示我们希望拟合的是一次多项式，即线性模型
beta = np.polyfit(x, y, 1)
# 打印系数
print(f"拟合的直线系数为：beta_0 = {beta[1]}, beta_1 = {beta[0]}")
# 根据模型系数绘制拟合直线
y_fit = beta[1] + beta[0]*x
# 绘制数据点
plt.scatter(x, y, color='red')
# 绘制拟合直线
plt.plot(x, y_fit, color='green')
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("Least Squares Linear Regression")
plt.show()输出
在实践中，数据分析师通常会使用更专业的库如scipy或statsmodels来实现最小二乘回归，因为这些库提供了更多的统计信息和模型诊断工具。在上述例子中，我们使用了numpy.polyfit函数仅做演示，实际中可能要处理更复杂的回归分析。
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