使用一个高斯核对图像低通滤波Python 图像高斯滤波的作用

高斯滤波(Gauss Filter)是线性滤波中的一种。在OpenCV图像滤波处理中，高斯滤波用于平滑图像，或者说是图像模糊处理，因此高斯滤波是低通的。其广泛的应用在图像处理的减噪过程中，尤其是被高斯噪声所污染的图像上。
高斯滤波的基本思想是: 图像上的每一个像素点的值，都由其本身和邻域内其他像素点的值经过加权平均后得到。其具体操作是，用一个核(又称为卷积核、掩模、矩阵)扫描图像中每一个像素点，将邻域内各个像素值与对应位置的权值相称并求和。从数学的角度来看，高斯滤波的过程是图像与高斯正态分布做卷积操作。
注意: 高斯滤波是将二维高斯正态分布放在图像矩阵上做卷积运算。考虑的是邻域内像素值的空间距离关系，因此对彩色图像处理时应分通道进行操作，也就是说操作的图像原矩阵时用单通道数据，最后合并为彩色图像。

一、几个概念
1. 什么是低通滤波、平滑图像、图像模糊处理？
平滑图像与图像模糊处理是相同的含义。平滑处理即是通过操作后，使得图像的像素值与邻域内其他像素值的的变化程度减小。在一张图像上，边缘的像素值是变化程度最剧烈的地方，而其他相对平缓。因此，平滑图像最直观的表现是图像的上物体的边缘轮廓变得模糊。

低通滤波是指仅允许低频率信号通过。一张图像上的大部分能量聚集在低频和中频上，而高频大多是图像中物体的边缘部分，也有可能是高频噪声点。在单通道中，各像素点的取值都在(0~255)中，因此，低通滤波通过一定的阙值设置，有去除高频信号和平缓边缘的效果。

2. 什么是核(又称为卷积核、掩模、矩阵)？
核的本质其实就是一个大小固定、由数值参数组成的数学矩阵，例如一个3*3的核就是一个3*3的矩阵,而矩阵中的数据则为权值。

3. 什么是卷积运算？
卷积运算是指输入图像中某一像素点的邻域的各个值（包括该点）与卷积算子中的值做矩阵相乘运算，最后得到输出值。
卷积算子的公式:

g(i，j) 代表原图像矩阵上的(i，j)点的值，它是输出值。
f(i-k，j-l) 代表原图像矩阵上(i，j)点的邻域中的对应点的值。
h(k,，l) 代表与f(i-k ， j-l)这个值在核对应位置的点的值
请看下图：这里用的是f(i-k,j-l)h(k,l)

由上图我们看到，矩阵f是将要进行操作的图像矩阵，当前的(i，j)是(2，2)点。h为核，其以中心(0，0)为参考点。因此f矩阵对应范围即为f(2，2)的邻域。矩阵g为图像输出矩阵，g(2，2)的值为输出值。
注意：卷积算子和相关算子在核上是180度翻转的矩阵，请不要搞混

4.核(卷积核、掩模、矩阵等)

在3的卷积运算中，用到的公式是：

g(i, j) = ∑ f(i-k, j-l)h(k, l) 。其中 k，l代表核上的坐标。而核的坐标明显与数组下标不一致。因此，我们需要做一个转换以满足用数组下标来访问该核的数据。

假设有3*3数组a，它与核的对应关系为

a(0, 0) ===> h(-1, -1) a(0, 1) ===> h(-1, 0) a(0, 2) ===> h(-1, 1)

a(1, 0) ===> h(0, -1) a(1, 1) ===> h(0, 0) a(1, 2) ===> h(0, 1)

a(2, 0) ===> h(1, -1) a(2, 1) ===> h(1, 0) a(2, 2) ===> h(1, 1)

对于3*3数组，其下标是0开始的，假设该数组的参考点(ai, aj)为中心,则有

g(i, j) = ∑ f(i-(k-ai), j-(l-aj))h(k, l)

带入数组参考点(1, 1)，则有

g(i, j) = ∑ f(i-(k-1), j-(l-1))h(k, l)

此时，k，l可以从0开始取值

 5.图像通道分离与合并(cv::Mat)

// src 原图像，多通道
    // [1] 彩色图片通道分离
    std::vector<cv::Mat> channels;
    cv::split(&src, channels);
    // [3] 滤波
    // OpenCV中操作
    // channels[0]  ==>  B通道
    // channels[1]  ==>  G通道
    // channels[2]  ==>  R通道
    // 省略对各个通道的处理
    // [4] 合并返回
    cv::merge(channels, *dst);

二、高斯函数

高斯滤波，顾名思义，这是一个建立在高斯正态分布基础上的滤波器。首先我们来了解高斯函数。(图片来源于网络)
一维高斯函数：
可以看到，G(x)的跟sigma的取值有极大的关系。sigma取值越大，图像越平缓，sigma取值越小，图像越尖锐。

二维高斯函数：

二维高斯是构建高斯滤波器的基础。可以看到，G(x,y)在x轴y轴上的分布是一个突起的帽子的形状。这里的sigma可以看作两个值，一个是x轴上的分量sigmaX，另一个是y轴上的分量sigmaY。对图像处理可以直接使用sigma并对图像的行列操作，也可以用sigmaX对图像的行操作，再用sigmaY对图像的列操作。它们是等价的。

当sigmaX和sigmaY取值越大，整个形状趋近于扁平；当sigmaX和sigmaY取值越小，整个形状越突起。

高斯滤波原理就是将上图的二维正态分布应用在二维的矩阵上，G(x,y)的值就是矩阵上的权值，将得到的权值进行归一化，将权值的范围约束在[0,1]之间，并且所有的值的总和为1。
假设一个3*3的核，sigma取值1.5以及sigma取5.0，归一化后其权值分布分别是：

假设一个5*5的核，sigma取值1.5以及sigma取5.0，经归一化后其权值分布分别是：

可以看到，权值的分布是以中间高四周低来分布的。并且距离中心越远，其对中心点的影响就越小，权值也就越小。
因此可以总结：
（1）在核大小固定的情况下，sigma值越大，权值分布越平缓。因此，邻域各个点的值对输出值的影响越大，最终结果造成图像越模糊。
（2）在核大小固定的情况下，sigma值越小，权值分布越突起。因此，邻域各个点的值对输出值的影响越小，图像变化也越小。假如中心点权值为1，其他点权值为0，那么最终结果是图像没有任何变化。
（3）sigma固定时，核越大图像越模糊。
（4）sigma固定时，核越小图像变化越小。

三、高斯滤波器实现
首先看效果：
对于椒盐图作处理

对于高斯噪声图作处理

（1）main函数：读取图片 ==> 高斯滤波 ==> 结果显示

int main(void)
{
    // [1] src读入图片
    cv::Mat src = cv::imread("Median_pic.jpg");
    // [2] dst目标图片
    cv::Mat dst;
    // [3] 高斯滤波  sigma越大越平越模糊
    myGaussianFilter(&src, &dst, 5, 1.5f);
    // [4] 窗体显示
    cv::imshow("src", src);
    cv::imshow("dst", dst);
    cv::waitKey(0);
    cv::destroyAllWindows();
    return 0;
}

（2）彩色图像通道分离处理，每个通道都进行高斯滤波，最后合并

void myGaussianFilter(cv::Mat *src, cv::Mat *dst, int n, double sigma)
{
    // [1] 初始化
    *dst = (*src).clone();
    // [2] 彩色图片通道分离
    std::vector<cv::Mat> channels;
    cv::split(*src, channels);
    // [3] 滤波
    // [3-1] 确定高斯正态矩阵
    double **array = getGaussianArray(n, sigma);
    // [3-2] 高斯滤波处理
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        gaussian(&channels[i], array, n);
    }
    // [4] 合并返回
    cv::merge(channels, *dst);
    return ;
}

（3）生成高斯正态分布核(卷积核，掩模等)

/* 获取高斯分布数组               (核大小， sigma值) */
double **getGaussianArray(int arr_size, double sigma)
{
    int i, j;
    // [1] 初始化权值数组
    double **array = new double*[arr_size];
    for (i = 0; i < arr_size; i++) {
        array[i] = new double[arr_size];
    }
    // [2] 高斯分布计算
    int center_i, center_j;
    center_i = center_j = arr_size / 2;
    double pi = 3.141592653589793;
    double sum = 0.0f;
    // [2-1] 高斯函数
    for (i = 0; i < arr_size; i++ ) {
        for (j = 0; j < arr_size; j++) {
            array[i][j] = 
                //后面进行归一化，这部分可以不用
                //0.5f *pi*(sigma*sigma) * 
                exp( -(1.0f)* ( ((i-center_i)*(i-center_i)+(j-center_j)*(j-center_j)) /
                                                             (2.0f*sigma*sigma) ));
            sum += array[i][j];
        }
    }
    // [2-2] 归一化求权值
    for (i = 0; i < arr_size; i++) {
        for (j = 0; j < arr_size; j++) {
            array[i][j] /= sum;
            printf(" [%.15f] ", array[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return array;
}

（4）进行高斯滤波操作

/* 高斯滤波 (待处理单通道图片, 高斯分布数组， 高斯数组大小(核大小) ) */
void gaussian(cv::Mat *_src, double **_array, int _size)
{
    cv::Mat temp = (*_src).clone();
    // [1] 扫描
    for (int i = 0; i < (*_src).rows; i++) {
        for (int j = 0; j < (*_src).cols; j++) {
            // [2] 忽略边缘
            if (i > (_size / 2) - 1 && j > (_size / 2) - 1 &&
                i < (*_src).rows - (_size / 2) && j < (*_src).cols - (_size / 2)) {
                // [3] 找到图像输入点f(i,j),以输入点为中心与核中心对齐
                //     核心为中心参考点 卷积算子=>高斯矩阵180度转向计算
                //     x y 代表卷积核的权值坐标   i j 代表图像输入点坐标
                //     卷积算子     (f*g)(i,j) = f(i-k,j-l)g(k,l)          f代表图像输入 g代表核
                //     带入核参考点 (f*g)(i,j) = f(i-(k-ai), j-(l-aj))g(k,l)   ai,aj 核参考点
                //     加权求和  注意：核的坐标以左上0,0起点
                double sum = 0.0;
                for (int k = 0; k < _size; k++) {
                    for (int l = 0; l < _size; l++) {
                        sum += (*_src).ptr<uchar>(i-k+(_size/2))[j-l+(_size/2)] * _array[k][l];
                    }
                }
                // 放入中间结果,计算所得的值与没有计算的值不能混用
                temp.ptr<uchar>(i)[j] = sum;
            }
        }
    }

    // 放入原图
    （*_src） = temp.clone();
}