【学习笔记】权值线段树

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superhuanghai 2022-05-01 22:30:21

文章标签 权值线段树子节点结点 文章分类 后端开发

挖坑待填

一. 权值线段树

权值线段树即一种线段树，以序列的数值为下标。节点里所统计的值为节点所对应的区间 \([l,r]\) 中，\([l,r]\) 这个值域中所有数的出现次数。

举个例子，有一个长度为 \(10\) 的序列 {\(1,5,2,3,4,1,3,4,4,4\)}。

那么统计每个数出现的次数。易知 \(1\) 出现了 \(2\) 次，\(2\) 出现了 \(1\) 次，\(3\) 出现了 \(2\) 次，\(4\)出现了 \(4\)次，\(5\) 出现了 \(1\) 次。

那么我们可以建出一棵这样的权值线段树：

【学习笔记】权值线段树_子节点

从网上搬的。节点中的数字代表节点对应区间中所有数的出现次数。

每个叶子节点的值：代表 这个值的出现次数。
非叶子节点的值：代表了某一个值域内，所有值出现次数的和。

上面的权值线段树中，\(6,7,8\) 并没有出现，然而却被建出。如果序列的数 \(a_i\) 的取值范围是 \(w\)，那么我们的树就需要 \(O(wlogw)\) 的空间。这对于大部分题都是无法忍受的。

所以考虑动态开点。一般的线段树，对于节点 \(p\)，其 \(ls,rs\) 一般都是 \(p×2\),\(p×2+1\)，而这里我们直接定义两个数组 \(ls[p]\),\(rs[p]\) 来表示节点 \(p\) 的左右儿子。

那么这样，我们会建出 \(O(n)\) 个叶子结点，而对于每一个叶子结点往上还有 \(O(logw)\) 的深度，所以总的空间复杂度降为 \(O(nlogw)\)。

小结：权值线段树采用动态开点以节省空间，防止序列的最大值太大导致超内存。

考虑如何用代码实现建树的过程:

inline void pushup(int p){
  tr[p]=tr[ls[p]]+tr[rs[p]];
  return;
}

inline void update(int &p,int l,int r,int now){
  if(!p)p=++id;
  if(l==r){
    tr[p]++;
    return;
  }
  int mid=(l+r)>>1;
  if(now<=mid)update(ls[p],l,mid,now);
  else update(rs[p],mid+1,r,now);
  pushup(p);
  return;
}

我们可以实现在 \(update\) 的过程用中 \(build\)。

我们将 \(p\) 传参，若 \(p\) 未出现过则直接用 \(++id\) 来新建节点。

\(l,r\) 表示当前节点所代表的的区间。\(now\) 表示当前 \(update\) 往权值线段树中加入的值，那么我们就在对于包含 \(now\) 的全部区间上的值都加一。

剩下的部分在例题中具体实现。