【控制理论】深入理解鲁棒控制 | 高增益与高频率鲁棒控制器的设计与分析

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文章目录

• 引言
• 一、系统描述与控制目标
• 二、误差的动态响应
• 三、高增益鲁棒控制器

• 3.1 设计理念
• 3.2 控制器形式
• 3.3 稳定性分析

• 四、高频率鲁棒控制器

• 4.1 设计理念
• 4.2 控制器形式
• 4.3 稳定性分析

• 五、总结
• 参考资料

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引言

  本篇博客讲解两种鲁棒控制器的设计：高增益鲁棒控制器(High Gain Robust Controller) 和 高频率鲁棒控制器(High Frequency Robust Controller)，内容整理自 B站知名up主 DR_CAN 的视频，作为博主的学习笔记，分享给大家共同学习。

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一、系统描述与控制目标

  有以下系统：
$\dot { x } = f ( x ) + u$  目标是轨迹跟踪，令 $x\rightarrow x_d$，即令 $e = x d - x \rightarrow 0$ ，已知系统的 $f(x)$ 是不确定的有界值，即$| f ( x ) | < \rho ( x )$。符合建立鲁棒控制器的基本条件。

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二、误差的动态响应

  误差的动态响应
$\dot { e } = \dot { x } _ { d } - \dot { x } = x _ { d } - f ( x ) - u$  不妨令
$u = k e + \dot x _d + u_{ a u x}$  其中，$u_{aux}$

  在上一篇博客中讲到，可令

$u _ { a u x } = \rho \frac { e } { | e | }$  这种控制方法叫做滑模控制。其中，$\frac { e } { | e | }$ 的图像如下所示：

$u_{aux}$

$\dot e = - k e - f ( x ) - \rho \frac { e } { | e | }$  前面的部分$\dot e = - k e$是稳定的一种情况，在相平面的图形是这样的：

$- f ( x ) - \rho \frac { e } { | e | }$

$\frac { e } { | e | }$ 不是 $1$ 就是 $-1$，导致 $u$ 可能会是这样：

$8$ 点钟方向突然转到 $4$

下面介绍另外两种不同的控制器设计方法：

• 高增益鲁棒控制器(High gain)
• 高频率鲁棒控制器(high frequency)

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三、高增益鲁棒控制器

3.1 设计理念

  对于高增益鲁棒控制器来说，它的理念就是用足够大的输入抵消不确定性。

3.2 控制器形式

$U _ { a u x 2 } = \frac { 1 } { \varepsilon } \rho ^ { 2 } e$  表达式中有平方项，所以可以预想到它的输入非常大，当然 $\varepsilon$ 都是大于 $0$

3.3 稳定性分析

  通过李雅普诺夫方程证明，最终误差有界。
$u _ { a u x 2 } = \frac { 1 } { \varepsilon} \rho ^ { 2 } e$  从李雅普诺夫方程入手，令
$V = \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 }$  则$\begin{aligned} \dot{v}&=e\dot{e}=e\left( \dot{x}_d-f\left( x \right) -ke-\dot{x}_d-\frac{1}{\varepsilon}\rho ^2e \right)\\ &=-ef\left( x \right) -ke^2-\frac{1}{\varepsilon}\rho ^2e^2\\ \end{aligned}$  前面这一部分 $- e f ( x ) \leq | e | | f ( x ) |$，由于 $| f ( x ) | < \rho ( x )$，所以
$- e f ( x ) \leq | e | | f ( x ) |\le |e|\rho$  则
$\dot V \leq \rho | e | - k e ^ { 2 } - \frac { 1 } { \varepsilon } \rho ^ { 2 } | e | ^ { 2 } = - k e ^ { 2 } + \rho | e | ( 1 - \frac { 1 } { \varepsilon } \rho | e | )$

$\rho |e | > \varepsilon$，导致
$\frac { 1 } { \varepsilon } \rho | e | > 1 \Rightarrow | - \frac { 1 } { \varepsilon } \rho| e | < 0 \Rightarrow\rho | e | ( 1 - \frac { 1 } { \varepsilon } \rho | e | ) < 0$  则
$\dot { V } \leq - k e ^ { 2 } + 0 \Rightarrow \dot { V } \leq - k e ^ { 2 }$

  在上一篇博客中讲解过如何把微分方程不等式化成等式再求解，大家可以去参考一下：

  【控制理论】深入理解鲁棒控制 | 滑模控制原理与应用实例解析

$\rho |e | < \varepsilon$，所以
$\frac { 1 } { \varepsilon } \rho | e | \leq 1 \Rightarrow 1 \geq 1 - \frac { 1 } { \varepsilon } \rho | e | \geq 0 \Rightarrow \rho | e | \geq \rho | e | ( 1 - \frac { 1 } { \varepsilon } \rho | e | )$  因为 $\rho |e | < \varepsilon$，所以
$\varepsilon \ge \rho | e | \geq \rho | e | ( 1 - \frac { 1 } { \varepsilon } \rho | e | )$  则
$\dot { V } \leq - k e ^ { 2 } + \varepsilon$  根据设定，$V = \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 }$ ，即 $- k e ^ { 2 } = - 2 k V$，可以写成
$\dot V \leq - 2 k V + \varepsilon$  这是微分方程不等式，求解不等式需要引入 $S(t)$，它是永远是正值的函数。下面的不等式就可以化成等式
$\dot { V } + 2 k V= \varepsilon - S ( t )$  它是一阶常系数线性非齐次微分方程，它的解为
$V { ( t ) } = V { ( 0 ) } \text{exp} ( - 2 k t ) - \text{exp} ( - 2 k t ) \int _ { 0 } ^ { t } \text{exp} ( 2 k \tau ) S ( \tau ) d \tau + \varepsilon \text{exp} ( - 2 k t ) \int _ { 0 } ^ { t } \text{exp} ( 2 k \tau ) d \tau$  中间项，$\text{exp} ( 2 k \tau )>0$ ， $S(\tau)>0$，所以 $\int _ { 0 } ^ { t } \text{exp} ( 2 k \tau ) S ( \tau ) d \tau>0$ 。然后$\text{exp} ( - 2 k t )>0$，所以整个这一项都大于 $0$。

  最后一项：
$\begin{aligned} &\varepsilon \exp \left( -2kt \right) \int_0^{\text{t}}{\exp \left( 2k\tau \right) d\tau}\\ =&\varepsilon \exp \left( -2kt \right) \frac{1}{2k}\int_0^{\text{t}}{\exp \left( 2k\tau \right) d\left( 2k\tau \right)}\\ =&\varepsilon \exp \left( -2kt \right) \frac{1}{2k}\exp \left( 2\text{k}\tau \right) |_{0}^{t}\\ =&\varepsilon \exp \left( -2k\tau \right) \frac{1}{2k}\left( exp\left( 2kt \right) -1 \right)\\ =&\frac{\varepsilon}{2k}\left( 1-\,\,\exp \left( -2kt \right) \right)\\ \end{aligned}$  所以
$V ( t ) \leq V { ( 0 ) } \text{exp} ( - 2 k t ) - 0 + \frac { e } { 2 k } ( 1 - \text{exp} ( - 2 k t ) )$  带入$\frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 }$：
$\frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 }(t)= \leq \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 }(0) \text{exp} ( - 2 k t ) - 0 + \frac { e } { 2 k } ( 1 - \text{exp} ( - 2 k t ) )$  左右开根号得到
$|e\left( {t} \right) |\leq \sqrt{|e(0)|\exp \left( -2kt \right) +\frac{\varepsilon}{k}-\frac{\varepsilon}{k}\exp \left( 2kt \right)}$  随着时间 $t\rightarrow \infty$，最终结果
$| e ( t ) | \leq \sqrt { \frac { \varepsilon } { k } }$  它不是趋近于 $0$ 的结果，但在最后误差会小于某个值。这种情况叫做 全局一致最终有界(globally uniformly ultimately bounded)。

$\varepsilon$ 的减小，当 $\varepsilon$ 非常小时，可以考虑$e\rightarrow0$。而在这种情况下，$u _ { a u x _ { 2 } } = \frac { 1 } { \varepsilon} \rho ^ { 2 } e$

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四、高频率鲁棒控制器

4.1 设计理念

  在滑模控制的基础上，使切换变得平缓

4.2 控制器形式

$U _ { a u x 3 } = \frac { \rho ^ { 2 } e } { \rho | e | + \varepsilon }$  当 $\varepsilon=0$ 时
$\frac { \rho ^ { 2 } e } { \rho | e | } = \rho \frac { e } { | e | }$

$\varepsilon\ne0$ 时，可得
$\frac { \rho ^ { 2 } e } { \rho | e | +\varepsilon} < 1$

  上面的两条蓝线是 $1$ 和 $-1$，两条红线就是 $\frac { \rho ^ { 2 } e } { \rho | e | +\varepsilon}$，在里面之内的。和滑模控制相比，相当于把蓝线变到了红线的位置，即切换变得平缓一些。

4.3 稳定性分析

$u _ { a u x _ { 3 } }$ 的稳定性的证明和 $u _ { a u x _ { 2 } }$ 的证明差不多。
$u _ { aux3 } = \frac { \rho ^ { 2 } e } { \rho | e | + \varepsilon }$$V = \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 } \\ \dot { V } = e \dot { e } \leq - k e ^ { 2 } + \rho | e | - e \frac { \rho ^ { 2 } e } { \rho | e | + \varepsilon } = - k e ^ { 2 } + \frac { \rho ^ { 2 } | e| ^ { 2 } + \rho|e| \varepsilon - \rho^ { 2 } e ^ { 2 } } { \rho | e | + \varepsilon }$$\dot { V } \leq - k e ^ { 2 } + \varepsilon ( \frac { \rho | e | } { \rho | e | +\varepsilon } )$  其中$0 \leq \frac { \rho | e | } { \rho | e | + \varepsilon } \leq 1$$\dot { V } \leq - k e ^ { 2 } + \varepsilon$  与 $u _ { aux3 }$ 结果相似
$| e | < \sqrt { \frac { \varepsilon } { k} }$  最后的结果也一样，也是最后会限制在 $\sqrt { \frac { \varepsilon } { k} }$

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五、总结

  通过上面的推导，说明了一个道理，就是当有系统
$\dot { x } = f ( x ) + u$  如果目标是令 $x\rightarrow x_d$ ，即令 $e = x d - x \rightarrow 0$，同时系统又满足 $| f ( x ) | < \rho ( x )$，这时可以设计不同的鲁棒控制器，使系统抵消不确定因素。

  可以令

$u = \dot x_d - k e + u_{ a u x}$   其中，

$u_{aux}=\rho \frac{e}{|e|}$

$u_{aux}=\frac{1}{\varepsilon}\rho ^2e$

$u_{aux}=\frac{\rho ^2e}{\rho |e|+\varepsilon}$

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参考资料

  【Advanced控制理论】18_Robust Control (2)_鲁棒控制_High Gain_High Frequency

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后记：

🌟 感谢您耐心阅读这篇关于 高增益与高频率鲁棒控制器的设计与分析 的技术博客。 📚

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