【文献精读】基于驱动力表的无人车终端无约束预测纵向控制(TVT)

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文章目录

• 摘要
• 一、背景介绍

• 主要工作

• 二、车辆纵向控制模型

• 1、纵向运动学模型
• 2、纵向动力学模型
• 3、纵向实验模型

• 三、控制器设计与稳定性分析

• 1、控制器结构
• 2、上层控制器设计
• 3、底层控制器设计

• (1)前馈控制器设计
• (2)扩张状态观测器

• 四、实验与讨论

• 直道上的速度跟踪

• 五、结论
• 参考文献

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摘要

  提出了一种基于分层结构的无人地面车辆纵向控制系统。

  上层控制器：引入无终端约束的模型预测控制算法作为上层控制器，计算期望加速度。

  下层控制器：通过建模实验，建立了驱动力表(DFT)来表征车辆的油门开度、速度和驱动力之间的关系。

  此外，为了提高系统的抗干扰能力，提出了一种基于DFT的前馈控制器，将期望加速度转化为期望节气门开度.综合建模误差和外界干扰，设计扩张状态观测器(ESO)进行估计。

  同时，通过严格的证明，保证了无终端约束的预测控制器的递推可行性和稳定性。

  最后，仿真结果校验了所设计控制律的有效性。

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一、背景介绍

现有的车辆纵向控制研究按其控制结构可分为两大类：

• 一类是直接对执行器进行控制，如PID控制器和自抗扰控制器
• 另一种采用分层结构，其中上层控制器计算期望的加速度，下层控制器调节油门和制动以跟随它

  大多数基于MPC的方法采用分层架构，并将加速度视为高级命令，而较低的控制输入通过经典反馈回路计算。这样的处理在干扰抑制方面是无效的，并且其性能在面对非理想道路条件时变得更差。

主要工作

• 通过对MPC算法最优解的分析和预测时域的延长，提出了一种无终端约束的MPC算法可行性和稳定性的新方法。
• 通过建模实验建立了驱动力表，表征动力传动系统的输入输出关系。
• 提出了一种基于离散傅立叶变换的前馈控制器，并采用扩张状态观测器对模型误差和外部干扰进行估计，提高了系统的精度。

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二、车辆纵向控制模型

1、纵向运动学模型

  在将该控制策略应用于车辆纵向调节时，通常将下层控制器和车辆视为底层系统，以简化上层控制器的建模过程。

  可以用一阶微分方程来描述期望加速度和实际加速度之间的关系

$\dot{a}(t)=-\frac{a(t)}{\tau}+\frac{a_{des}(t)}{\tau}$其中，$\tau$

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  一阶微分方程可以用来描述期望加速度和实际加速度之间的关系，主要是因为这个方程体现了一个动态系统的基本特性：响应时间常数和系统输入输出关系。

详细解释：

• 时间常数 $\tau$：时间常数是系统动力学的一个重要参数，它决定了系统对输入变化的反应速度。具体来说， $\tau$越大，系统响应越慢； $\tau$越小，系统响应越快。
• 实际加速度的衰减项 $-\frac{a(t)}{\tau}$：这一项表明实际加速度会随着时间的推移而指数衰减，如果没有任何新的输入，系统最终会趋向于期望加速度。
• 期望加速度的驱动项 $\frac{a_{des}(t)}{\tau}$：这一项表示系统会根据期望加速度的变化来调整实际的加速度。它表明系统会试图达到期望的加速度，而且这个调整过程受到时间常数 $\tau$

$\tau$

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  构造二阶纵向运动学模型：
$\begin{aligned}&\dot{x}(t)=A_sx(t)+B_su(t)\\&y(t)=C_sx(t)\end{aligned}$  其中
$A_s=\begin{bmatrix}0&1\\0&-\frac{1}{\tau}\end{bmatrix}, B_s=\begin{bmatrix}0\\\frac{1}{\tau}\end{bmatrix}, C_s=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}$  其中，$x(t)=[v(t), a(t)]^T$是状态向量，$y(t)$是测量输出，$u(t)= a_{des}(t)$是控制输入。

$e(t)= [e_v(t)，e_a(t)]^T$，其中

$e_v(t)=v(t)-v_{ref}(t), e_a(t)=a(t)-a_{ref}(t)$令
$u_e(t)=u(t)-u_{ref}(t), y_e(t)=y(t)-y_{ref}(t)$  转换为误差系统，并将其离散为
$\begin{aligned}e(k+1)&=Ae(k)+Bu_e(k)\\y_{e}(k)&=Ce(k)\end{aligned}$其中
$A=\begin{bmatrix}1&T\\0&1-\frac T\tau\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}0\\\frac T\tau\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}$

2、纵向动力学模型

  在纵向控制过程中，车辆通过发动机的驱动力矩实现加速，通过液压制动系统的制动力矩实现减速。此外，车辆的行驶状态受坡度变化、空气阻力和滚动摩擦等多种因素的影响，受力分析图如图所示

  根据受力分析图，车辆的纵向动力学模型变为

$\begin{aligned} a(t)m& =F_{all}(t)=F_{x}(t)-F_{air}(t)-F_{s}(t)-f(t) \\ F_{air}(t)& =\frac12C\rho Sv^2(t) \\ f(t)& =\mu G\cos\theta(t) \\ F_{s}(t)& =G\sin\theta(t) \end{aligned}$  其中，$m$ 为车辆的总质量，$F_{all}(t)$为合力，$C$ 为空气阻力系数，$\rho$ 为空气密度，$S$ 为车辆的迎风面积，$\mu$

$F_{all}(t)$与驱动力$F_x(t)$不相等，从而影响车辆的真实的加速度。因此，在控制器设计过程中，应该考虑这些干扰并抵消它们。

3、纵向实验模型

  节气门开度是纵向控制的主要控制输入。它决定了发动机的输出扭矩，通过由离合器、变速器、主减速器、差速器等部件组成的动力传动系统影响车辆的驱动力。由于这些结构极其复杂，高度非线性，很难建立精确的数学模型。因此，不再试图开发电力传输系统的精确模型，而仅关注其输入输出关系，该关系可由以下等式表示
$F_x(t)=H\left(\phi(t),v(t)\right)+h(t)$  其中，$H(·)$ 代表节气门开度和速度到驱动力的映射关系，$h(t)$是其他因素引起的总扰动。对动力传动系统进行了一系列的建模实验，建立了反映车速、油门开度和驱动力之间关系的 DFT 模型。

  需要注意的是，斜率等因素会增加 DFT 的维数，这会大大增加建模过程的难度，降低实时性。因此，在坡度小、风阻小的直路上进行建模实验，并做以下两个假设。

• 扰动$h(t)$很小，可以忽略，这意味着车辆的驱动力只与车速和节气门开度有关。
• 在纵向动力模型中，由于路面坡度和风阻力都很小，$F_{air}(t)，f(t)$和$Fs(t)$均取为零。因此，驱动力等于车辆的合力。

$[0,0.6]$

  建立 DFT 所需的变量是车辆的速度、驱动力和节气门开度。速度可以通过惯性测量单元(IMU)获得，而节气门开度通过控制器局域网(CAN)获得。为了获得驱动力，保持油门开度在一个标准值不变，并记录在不同的速度从 IMU 的车辆的加速度。然后，根据公式$a(t)m=F_{all}(t)=F_x(t)-F_{air}(t)-F_s(t)-f(t)$，可以计算出合力，该合力等于假设的驱动力。通过同样的方法，可以得到其他节气门开度下的驱动力。得到驱动力表：

  其 3D 视图如下：

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三、控制器设计与稳定性分析

1、控制器结构

  控制器结构如下：

  上控制器的核心部分是基于运动学模型的 MPC 算法。其目的是接收参考速度并计算期望加速度 $a_{des}$。下半部分由 ESO 和前馈控制器组成。

  注意：$d(t)$ 是由环境和建模误差引起的总干扰，其导致底层系统上的模型失配。因此，发展了ESO，并且 $d(t)$表示总扰动的估计。然后，期望加速度将被补偿以获得校正加速度，该校正加速度被传送到前馈控制器以处理干扰。最后，前馈控制器将通过动力学模型计算期望驱动力 $F_{des}$，并将其转换为节气门开度 DFT。

2、上层控制器设计

  离散二阶误差系统纵向运动学模型满足以下约束：
$\begin{aligned} &|e_{v}(k)|<V_{\max} \\ &|e_{a}(k)|<A_{\max} \\ &|u_{e}(k)|<U_{\max} \\ &|u(k)|=|u_{e}(k)+u_{ref}(k)|<\bar{U}_{\max} \end{aligned}$  通常，车辆的参考速度是阶跃信号，参考控制输入 $u_{ref}$设置为零。因此，定义

$\hat{U}_{\max}=\min(U_{\max},\bar{U}_{\max},A_{\max})$  后两个约束条件转化为 $|u_{e}(k)|<\hat{U}_{\mathrm{max}}$。
  如果A、B是可镇定的，则对于闭环控制系统
$e(k+1)=(A+BK)e(k)$  为全局渐进稳定。
$P=(A+BK)^TP(A+BK)+(C^TQC+K^TRK)$  MPC代价函数为
$\begin{aligned}J(k)&=\sum_{i=0}^{q-1}\left(\left\|y_e(k+i|k)\right\|_Q^2+\left\|u_e(k+i|k)\right\|_R^2\right)+\left\|e(k+q|k)\right\|_P^2\end{aligned}$  其中，$Q$ 和 $R$ 分别是误差输出和控制输入的加权系数。$||e(k + q| k)||^2_ P$是终端成本，P是由(18)计算的加权矩阵。q是控制范围，要求q足够大
$\left(1-\frac{T}{\tau}\right)^qA_{\max}<\frac{T}{\tau}\hat{U}_{\max}$  此外，为保证MPC的递归可行性，预测时域 $p$ 应设为 $p>q$.请注意，延长预测范围将使优化问题复杂化。为了保证预测控制的实时性，本文选用 $p = q + 1$。预测范围中的所有误差状态应满足约束。综上所述，如果在时间步 $k$ 处，测量车辆的误差状态为 $e(k)$，则 MPC 算法的优化问题可以表示为：
$\begin{aligned} &\min_{u_{e}(k+i|k)}J(k) \\ s.t. \\ &e(k|k)=e(k) \\ &e(k+i+1|k)=Ae(k+i|k)+Bu_{e}(k+i|k) \\ &y_{e}(k+i+1|k)=Ce(k+i+1|k) \\ &e(k+p|k)=Ae(k+q|k) \\ &|u_{e}(k+i|k)|<\hat{U}_{\mathrm{max}} \\ &with\ i=0,1,\ldots,q-1. \\ &|e_{v}(k+j|k)|<V_{\mathrm{max}} \\ &|e_{a}(k+j|k)|<A_{\mathrm{max}} \\ &with\ j=0,1,\ldots,p. \end{aligned}$

$U_e^*(k)=\begin{bmatrix}u_e^*(k|k)\\u_e^*(k+1|k)\\\vdots\\u_e^*(k+q-1|k)\end{bmatrix}$  并且该序列的第一元素被提取作为时间步长 $k$ 处的 MPC 算法的输出。

$k + 1$，将控制输入的候选序列定义为：

$U_e(k+1)=\begin{bmatrix}u_e(k+1|k+1)\\u_e(k+2|k+1)\\\vdots\\u_e(k+q-1|k+1)\\u_e(k+q|k+1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_e^*(k+1|k)\\u_e^*(k+2|k)\\\vdots\\u_e^*(k+q-1|k)\\Ke^*(k+q|k)\end{bmatrix}$  其中，$Ke^*(k+q|k)$ 由反馈控制律$u_e(k)= Ke(k)$确定。设$K =[−k，0]$，其中，$k = \frac{U_{max}}{ V_{max}}$。预测的误差状态变为：
$e\left( k+i|k+1 \right) =\left\{ \begin{array}{c} e^*\left( k+i|k \right) ,\quad i=1,2,...,q\\ \left( A+BK \right) e^*\left( k+i-1|k \right) ,\quad \,\,i=p\\ Ae\left( k+i-1|k+1 \right) ,\quad \,\,i=p+1\\ \end{array} \right.$

$k$ 和 $k + 1$ 处的解：

$e_v(k + p| k + 1)$只由 $e(k + q|k + 1)$ 决定，且独立于 $Ke^*(k + q| k)$的范围，因而 $e_v(k + p| k + 1)$等于 $e^*_v(k + p| k)$。
$\begin{aligned} e_a\left( k+p|k+1 \right) &=\left( 1-\frac{T}{\tau} \right) e_a\left( k+q|k+1 \right) +\frac{T}{\tau}Ke^*\left( k+q|k \right)\\ &\leq \left( 1-\frac{T}{\tau} \right) A_{\max}+\frac{T}{\tau}\hat{U}_{\max}\\ e_a\left( k+p+1|k+1 \right) &=\left( 1-\frac{T}{\tau} \right) e_a\left( k+p|k+1 \right)\\ \end{aligned}$

3、底层控制器设计

(1)前馈控制器设计

  基于前面的讨论，车辆的动态模型可以简化为
$a(k)m=F_{all}(k)=F_x(k)$  而车辆的驱动力、节气门开度和速度之间的关系变为
$F_x(k)=H\left(\phi(k),v(k)\right)$  当给出校正加速度$\bar{a}_{des}\left( k \right)$时，可以计算期望驱动力 $F_{des}(k)$。然后，使用 DFT 上的线性插值，可以得到期望的节气门开度，并将其传输到车辆。因此，前馈控制器可以设计为：$\begin{aligned}F_{des}(k)&=\bar{a}_{des}(k)m\\\phi(k)&=\hat{H}\left(F_{des}(k),v(k)\right)\end{aligned}$  其中，$Δ H(·)$ 表示驱动力和速度到节气门开度的映射，该映射可以通过 DFT 上的线性插值得到

(2)扩张状态观测器

  注意，车辆的理想运动学模型被视为 MPC 的预测模型。然而，在基础系统中存在两种类型的不可忽略的问题，即，DFT 的建模误差和主要由路面坡度引起的外界干扰。在它们的共同影响下，运动学模型的输入输出关系变得更加复杂。因此，考虑总扰动后的表达式转变为
$\dot{a}(t)=-\frac{a(t)}{\tau}+\frac{a_{des}(t)}{\tau}+d(t)$  其中，$d(t)$ 表示总干扰，其对上层控制器具有显著影响。因此，设计了 ESO 来估计 $d(t)$，其离散形式为：
$\begin{aligned} eso_{a}(k)&=a(k)-\hat a(k) \\ \hat{a}(k+1)&=(1-\frac{T}{\tau})\hat{a}(k)+T\left(\frac{a_{des}(k)}{\tau}+\hat{d}(k)+l_{1}eso_{a}(k)\right) \\ \hat{d}(k+1)&=\hat{d}(k)+Tl_2eso_a(k) \end{aligned}$  其中，$\hat{a}(k)$是估计的加速度，$eso_a(k)$ 表示 $a(k)$和 $\hat{a}(k)$ 之间的误差，$\hat{d}(k)$ 表示 $d(k)$ 的估计，$l_1$和 $l_2$ 是 ESO 的参数。

$d(k)$，可以将来自上控制器的期望加速度修改为：
$\bar{a}_{des}(k)=a_{des}(k)-\tau\hat{d}(k)$  因此运动学模型转变为:
$\begin{aligned} \dot{a}(t)& =-\frac{a(t)}\tau+\frac{\bar{a}_{des}(t)}\tau+d(t) \\ &=-\frac{a(t)}{\tau}+\frac{a_{des}(t)}{\tau}+d(t)-\hat{d}(k) \end{aligned}$

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四、实验与讨论

  实验平台如下：

  包括一个全球定位系统(GPS)，一个惯性测量单元(IMU)，两个GPS接收器，一个光探测和测距(LiDAR)，一个相机，一个工业个人计算机(IPC)，一个油门，一个刹车和一个方向盘。  在工控机上建立了基于机器人操作系统(ROS)的软件框架。如下图所示：

  环境感知模块通过“/GPS_IMU”、“/LiDAR”和“/Camera”接收关于周围环境的信息。决策规划模块规划参考速度并通过'/Planning_io'将其传送到运动控制模块。然后，运动控制模块设计纵向控制策略，并将其部署在“/Loncveil”中，将计算得到的节气门开度传输到“/车辆_CAN”(车辆的控制器局域网)中。基于MPC的纵向控制器与 DFT 的车辆上实现。状态反馈增益设计为：

$K=\begin{bmatrix}-0.25,&0\end{bmatrix}$  并且终端加权矩阵变为

$P=\begin{bmatrix}451.64&145.28\\[0.3em]145.28&51.19\end{bmatrix}$  在实验现场进行了三种情况下的实验，以验证所提出的控制器的性能：

直道上的速度跟踪

$0 m/s$ 跳到 $3 m/s$，一段时间后变为 $5 m/s$。为了使对比效果更加明显，三个控制器的跟踪曲线在时间轴上对齐，并显示在同一个图中。

  这些控制器的速度跟踪结果如图所示：

  实验结果表明，该控制器在整个实验过程中均取得了令人满意的控制效果，而传统的MPC控制器存在调节时间长、超调量大等缺点。此外，由于 PID 控制器是无模型控制器，对参考信号的变化比较敏感，在跟踪不同速度时，其效果会有所下降。下图显示了不同控制器下车辆的节气门开度。

  该控制器能使车辆在加速过程中获得较大的节气门开度，在接近参考速度时节气门开度迅速减小，从而提高了车辆的性能。另外两个控制器的节气门开度调节慢，效果不好。ESO 的估计扰动如图所示：

  可以看到，当车辆加速时，底层系统的真实的模型与理想模型有很大的误差。下位控制器通过修正期望加速度来消除该误差的影响，从而提高控制性能。

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五、结论

本文提出了一种用于车辆纵向控制的分层体系结构：

• 建立了描述其纵向特性的运动学模型、动力学模型和实验模型。
• 提出了一种 MPC 算法作为上层控制器计算期望加速度，并推导了该算法在不使用终端约束的情况下的递推可行性和稳定性。
• 提出了一种基于动态模型和离散傅里叶变换的前馈控制器，以获得期望的节气门开度。
• 设计了一个 ESO 来估计总的干扰。

  总体控制策略已在无人车平台上成功部署。最后，以直线路面、起伏路面和斜坡路面为例进行了对比实验，仿真结果表明所提控制器的有效性和优越性。

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参考文献

   Y. Wang, Y. Deng, H. Wang, Z. Zuo and H. Yang, “Terminal Constraint-Free Model Predictive Longitudinal Control for Unmanned Ground Vehicles With Driving Force Table,” in IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 72, no. 3, pp. 3051-3062, March 2023, doi: 10.1109/TVT.2022.3221551.

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后记：

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