代码随想录算法训练营第六十二天| Floyd 算法精讲、A * 算法精讲（A star算法）

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不知所措的手手 2024-09-02 21:22:23 博主文章分类：代码随想录 ©著作权

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文章链接：Floyd 算法精讲、A * 算法精讲（A star算法）、最短路算法总结、图论总结
题目链接：97. 小明逛公园、126. 骑士的攻击

Floyd 算法精讲

B站视频讲解：【图-最短路径-Floyd(弗洛伊德)算法】https://www.bilibili.com/video/BV19k4y1Q7Gj?vd_source=65a224d3f97ae5a1002c0964faf8a876

思路：

题目本质：多源最短路，即求多个起点到多个终点的多条最短路径。

Floyd 算法：对边的权值正负没有要求，都可以处理。

Floyd算法核心思想是动态规划。

所以可以用动规五部曲讲解Floyd 算法：

一、确定dp数组（dp table）以及下标的含义：grid[i][j][k] = m，表示节点i 到节点j 以[1...k] 集合为中间节点的最短距离为m；

二、确定递推公式：

分两种情况：

节点i 到节点j 的最短路径经过节点k：

grid[i][j][k] = grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1];

节点i 到节点j 的最短路径不经过节点k

grid[i][j][k] = grid[i][j][k - 1];

取最小值：

grid[i][j][k] = min(grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]， grid[i][j][k - 1])

三、dp数组如何初始化：本题求的是最小值，所以输入数据没有涉及到的节点的情况都应该初始为一个最大数；

// 10005是因为边的最大距离是10^4
vector<vector<vector<int>>> grid(n + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(n + 1, 10005)));

四、确定遍历顺序：

将grid数组比作一个三维坐标，i 和j 是平层，而k 是垂直向上的；

遍历的顺序只有从底向上一层一层去遍历才能真正的遍历；

所以遍历k 的for循环一定是在最外面，这样才能一层一层去遍历。

for (int k = 1; k <= n; k++) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k-1], grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1]);
        }
    }
}

五、举例推导dp数组

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
using namespace std;

int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;
    
    vector<vector<vector<int>>> grid(n + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(n + 1, 10005)));
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        grid[p1][p2][0] = val;
        grid[p2][p1][0] = val; // 双向图
    }
    
    // Floyed
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k-1], grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1]);
            }
        }
    }
    // 输出
    int z, start, end;
    cin >> z;
    while(z--) {
        cin >> start >> end;
        if (grid[start][end][n] == 10005) {
            cout << -1 << '\n';
        } else {
            cout << grid[start][end][n] <<'\n';
        }
    }
}

A * 算法精讲（A star算法）

B站视频讲解：【A*寻路算法详解 #A星 #启发式搜索】https://www.bilibili.com/video/BV1bv411y79P?vd_source=65a224d3f97ae5a1002c0964faf8a876

思路：

BFS与A*的区别：BFS 是没有目的性地一圈一圈去搜索，而 A * 是有方向性地去搜索。

那么 A * 为什么可以有方向性的去搜索，它的如何知道方向呢？：启发式函数。

本题的图是无权网格状，在计算两点距离通常有如下三种计算方式：

曼哈顿距离，计算方式： d = abs(x1-x2)+abs(y1-y2)
欧氏距离（欧拉距离），计算方式：d = sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 )
切比雪夫距离，计算方式：d = max(abs(x1 - x2), abs(y1 - y2))

（x1, x2 为起点坐标，y1, y2 为终点坐标，abs 为求绝对值，sqrt 为求开根号）

动画演示：https://kamacoder.com/tools/knight.html

// 以下代码是启发式函数采用欧拉距离计算方式
#include<iostream>
#include<queue>
#include<string.h>
using namespace std;
int moves[1001][1001];
int dir[8][2]={-2,-1,-2,1,-1,2,1,2,2,1,2,-1,1,-2,-1,-2};
int b1, b2;
// F = G + H
// G = 从起点到该节点路径消耗
// H = 该节点到终点的预估消耗

struct Knight{
    int x,y;
    int g,h,f;
    bool operator < (const Knight & k) const{  // 重载运算符
     return k.f < f;
    }
};

priority_queue<Knight> que;

int Heuristic(const Knight& k) { // 欧拉距离
    return (k.x - b1) * (k.x - b1) + (k.y - b2) * (k.y - b2); // 统一不开根号，这样可以提高精度
}
void astar(const Knight& k)
{
    Knight cur, next;
	que.push(k);
	while(!que.empty())
	{
		cur=que.top(); que.pop();
		if(cur.x == b1 && cur.y == b2)
		break;
		for(int i = 0; i < 8; i++)
		{
			next.x = cur.x + dir[i][0];
			next.y = cur.y + dir[i][1];
			if(next.x < 1 || next.x > 1000 || next.y < 1 || next.y > 1000)
			continue;
			if(!moves[next.x][next.y])
			{
				moves[next.x][next.y] = moves[cur.x][cur.y] + 1;

                // 开始计算F
				next.g = cur.g + 5; // 统一不开根号，这样可以提高精度，马走日，1 * 1 + 2 * 2 = 5
                next.h = Heuristic(next);
                next.f = next.g + next.h;
                que.push(next);
			}
		}
	}
}

int main()
{
    int n, a1, a2;
    cin >> n;
    while (n--) {
        cin >> a1 >> a2 >> b1 >> b2;
        memset(moves,0,sizeof(moves));
        Knight start;
        start.x = a1;
        start.y = a2;
        start.g = 0;
        start.h = Heuristic(start);
        start.f = start.g + start.h;
		astar(start);
        while(!que.empty()) que.pop(); // 队列清空
		cout << moves[b1][b2] << endl;
	}
	return 0;
}