1.程序功能描述 旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）是计算机科学和运筹学中的经典问题，其目标是寻找访问一系列城市并返回起始城市的最短可能路线。此问题属于NP-难问题，对于大规模的实例，精确的求解方法在计算上不可行。因此，启发式方法，特别是遗传算法（Genetic Algorithms, GA），在解决TSP问题上非常受欢迎。本课题中，使用遗传算法，实现TSP问题的求解。

2.测试软件版本以及运行结果展示 MATLAB2022a版本运行

1.jpeg2.jpeg

3.核心程序

clear;
close all;
warning off;
addpath(genpath(pwd));
rng('default')
 
%人口规模
Npop = 200;
%交叉所需的染色体对数
c    = 20;
%诱变所需的染色体数目
m    = 10;
%总代数
Iters= 4000;
 
%城市个数
NUM  = 30;
Data = [[1:NUM]',1000*rand(NUM,2)];
 
[x, y] = size(Data);
nc     = x;  
P      = func_initial(Npop,nc);
 
for i=1:Iters
    i
    % 交叉（single-point crossover）操作，用于遗传算法中的染色体交叉步骤。
    % 在每一次循环中，它随机选择一个父代染色体，并在随机选择的交叉点处将其切割，
    % 然后将切割下来的基因片段移动到染色体的末尾，从而生成一个新的子代染色体。
    P(Npop+1:Npop+c,:)     = func_crossover(P,c);
    % 实现的是染色体的突变操作。在遗传算法中，突变是增加种群多样性的重要步骤。
    % 对于每一个需要突变的染色体，函数随机选择两个基因位置，并交换这两个位置的基因值，从而实现染色体的突变。
    P(Npop+c+1:Npop+c+m,:) = func_mutation(P,m);
    % 一个种群中每个染色体的适应度。染色体代表一种城市的排列方式，
    % 适应度是根据城市之间的距离来计算的。
    % 代码首先根据染色体的基因值在Data中找到对应的城市位置，
    % 然后计算相邻城市之间的距离，并将这些距离存储在矩阵B中。
    % 最后，计算适应度值，即距离的倒数之和，并将适应度值存储在矩阵Y中。
    E                = func_evaluation(P,Data);
    [P, S]           = func_selection(P,E,Npop);
    Yavg(i)          = sum(S)/Npop;
    Ybest(i)         = sum(S)/Npop;
end
 
figure
plot(Yavg,'r'); 
hold on
plot(Ybest,'b'); 
xlabel('迭代次数')
ylabel('适应度收敛曲线')
grid on 
 
 
[V,I]    = min(Ybest);
opt_res  = P(1,:);
[x1, y1] = size(opt_res);
 
figure
plot(Data(:,2),Data(:,3),'go', 'MarkerSize',5,'LineWidth',2)
hold on 
for i=1:x
    text(Data(i,2)+0.25,Data(i,3)+0.25,num2str(i), 'FontSize', 12);
    hold on 
end
Data2 = zeros(size(Data));
for i=1:y1
    Data2(i,:) = Data(opt_res(i),:);
end
line(Data2(:,2),Data2(:,3),'LineStyle','-','LineWidth',2);
title('最优路线');
xlabel('X')
ylabel('Y')
12

4.本算法原理 旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）是计算机科学和运筹学中的经典问题，其目标是寻找访问一系列城市并返回起始城市的最短可能路线。此问题属于NP-难问题，对于大规模的实例，精确的求解方法在计算上不可行。因此，启发式方法，特别是遗传算法（Genetic Algorithms, GA），在解决TSP问题上非常受欢迎。

4.1 遗传算法概述 遗传算法是一种模拟自然选择和遗传学机制的优化技术。它们通过模拟生物进化过程中的选择、交叉和变异操作来搜索问题的解空间。GA的主要优点是能够处理大量的参数，并有可能找到全局最优解，而不是仅仅陷入局部最优。

4.2 TSP问题描述 给定一个城市集合 (C = {c_1, c_2, ..., c_n}) 和每对城市 (c_i) 和 (c_j) 之间的距离 (d(c_i, c_j))，TSP的目标是找到访问每个城市一次并返回起始城市的最短路线。

我们可以表示一个TSP解为一个城市的排列 (\pi = (\pi_1, \pi_2, ..., \pi_n))，其中 (\pi_i) 是访问的第i个城市，且 (\pi_1 = \pi_n)（起始和结束于同一城市）。则该路线的总距离为：

(D(\pi) = \sum_{i=1}^{n-1} d(\pi_i, \pi_{i+1}))

4.3 使用遗传算法解决TSP 编码：在GA中，每个解（在这里是一个TSP路线）都被编码为一个“染色体”。对于TSP，常用的编码方法是城市的排列。例如，一个染色体可以是 (2, 5, 1, 4, 3)，表示从城市2开始，然后到5，1，4，最后回到2的路线。 初始化种群：随机生成一组初始解（染色体）作为起始种群。 适应度函数：用于评估每个染色体的“适应度”或质量。在TSP中，适应度函数通常是路线的总距离的倒数，因为我们希望最小化这个距离。 选择：选择操作是基于适应度来选择染色体以进行繁殖。常用的选择方法有轮盘赌选择、锦标赛选择等。 交叉：交叉操作模拟了生物繁殖中的基因重组。对于TSP，常用的交叉方法是部分映射交叉（PMX）和顺序交叉（OX）。以PMX为例，随机选择两个交叉点，然后交换两个父染色体之间的片段，并通过部分映射来修复任何重复的城市。 变异：模拟基因突变的过程，有助于维持种群的多样性。对于TSP的染色体编码，常见的变异方法有交换变异（随机交换两个城市的位置）和倒置变异（将染色体的一部分倒置）。 终止条件：算法迭代进行，直到满足终止条件（如达到最大迭代次数、达到预定的适应度水平或种群多样性降低到某一阈值）。 解码和结果：最后，最佳染色体被解码为TSP的解决方案，即访问城市的最佳顺序。